Найти математическое ожидание показательного распределения, заданного при х ≥ 0 :а) плотностью распределения; х ≥ 0 : f ( x) = 5e^ −5 x ,б) функцией распределения F ( x) = 1 − e^ −0,1x
Добрый день! Конечно, я могу помочь вам решить эту задачу.
Для начала, давайте разберемся, что такое математическое ожидание. Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, которое можно получить, усреднив значение случайной величины с учетом их вероятностей.
Теперь перейдем к решению задачи:
a) У нас дана плотность распределения f(x) = 5e^(-5x), где x ≥ 0.
Для нахождения математического ожидания показательного распределения, нужно проинтегрировать x*f(x) по всем значениям x, умноженным на плотность распределения, то есть:
E(X) = ∫(x * f(x)) dx (от 0 до ∞)
Подставим плотность распределения f(x) = 5e^(-5x):
E(X) = ∫(x * 5e^(-5x)) dx (от 0 до ∞)
Для решения этого интеграла, воспользуемся методом интегрирования по частям:
∫(a * b) dx = a * ∫b dx - ∫(a' * ∫b dx) dx
где a = x, b = 5e^(-5x), a' = 1, b' = -5e^(-5x)
Применяем метод интегрирования по частям:
E(X) = x * (-e^(-5x)) - ∫((-e^(-5x)) * 1) dx (от 0 до ∞)
Упростим:
E(X) = -x * e^(-5x) + 5∫e^(-5x) dx (от 0 до ∞)
Вычислим интеграл ∫e^(-5x) dx:
E(X) = -x * e^(-5x) - (∫e^(-5x) dx / (-5)) (от 0 до ∞)
E(X) = -x * e^(-5x) + (1/5) * (∫e^(-5x) dx) (от 0 до ∞)
Для интеграла ∫e^(-5x) dx можно использовать формулу интегрирования:
∫e^(ax) dx = (1/a) * e^(ax)
В данном случае a = -5, поэтому:
∫e^(-5x) dx = (1/(-5)) * e^(-5x)
Подставляем это значение в формулу для E(X):
E(X) = -x * e^(-5x) + (1/5) * (1/(-5)) * e^(-5x) (от 0 до ∞)
E(X) = -x * e^(-5x) - (1/25) * e^(-5x) (от 0 до ∞)
Так как математическое ожидание должно быть конечным числом, в данном случае оно не существует. Поэтому ответ: математическое ожидание показательного распределения, заданного плотностью распределения f(x) = 5e^(-5x), х ≥ 0, не существует.
b) У нас дана функция распределения F(x) = 1 - e^(-0.1x), где x ≥ 0.
Мы можем найти математическое ожидание из функции распределения, используя следующую формулу:
E(X) = ∫(1 - F(x)) dx (от 0 до ∞)
Для решения этого интеграла, заметим, что ∫F(x) dx = x * F(x). Поэтому:
E(X) = ∫(1 - F(x)) dx (от 0 до ∞)
= x * (1 - F(x)) | от 0 до ∞ - ∫x * (-F'(x)) dx (от 0 до ∞)
Теперь продолжим решение:
E(X) = [x * (1 - F(x))] (от 0 до ∞) - ∫x * (-F'(x)) dx (от 0 до ∞)
= ∞ * (1 - F(∞)) - 0 * (1 - F(0)) - ∫x * (-F'(x)) dx (от 0 до ∞)
= ∞ * (1 - 1) - 0 * (1 - F(0)) - ∫x * (-F'(x)) dx (от 0 до ∞)
= ∞ * 0 - 0 * (1 - F(0)) - ∫x * (-F'(x)) dx (от 0 до ∞)
= 0 - 0 * (1 - F(0)) - ∫x * (-F'(x)) dx (от 0 до ∞)
= 0 - 0 - ∫x * (-F'(x)) dx (от 0 до ∞)
= - ∫x * (-F'(x)) dx (от 0 до ∞)
Аналогично получению математического ожидания из плотности распределения, мы можем использовать метод интегрирования по частям:
∫(a * b) dx = a * ∫b dx - ∫(a' * ∫b dx) dx
где a = x, b = -F'(x), a' = 1, b' = -F(x)'
Применяем метод интегрирования по частям:
E(X) = -x * [-F(x)] + ∫[-F(x) * 1] dx (от 0 до ∞)
Упростим:
E(X) = x * F(x) + ∫F(x) dx (от 0 до ∞)
Вычислим интеграл ∫F(x) dx:
E(X) = x * F(x) + ∫(1 - e^(-0.1x)) dx (от 0 до ∞)
= x * (1 - e^(-0.1x)) + (∫1 dx - ∫e^(-0.1x) dx) (от 0 до ∞)
= x * (1 - e^(-0.1x)) + (x - (-10) * e^(-0.1x)) (от 0 до ∞)
= x - x * e^(-0.1x) + x + 10 * e^(-0.1x) (от 0 до ∞)
= 2x + 10 * e^(-0.1x) - x * e^(-0.1x) (от 0 до ∞)
Рассмотрим пределы слагаемых при подстановке ∞:
lim(x→∞) 2x = ∞
lim(x→∞) 10 * e^(-0.1x) = 0
lim(x→∞) -x * e^(-0.1x) = -∞
Теперь рассмотрим пределы слагаемых при подстановке 0:
Так как математическое ожидание равно бесконечности, ответ: математическое ожидание показательного распределения, заданного функцией распределения F(x) = 1 - e^(-0.1x), х ≥ 0, равно бесконечности.
Я надеюсь, что данное решение ясно и понятно вам. Если у вас возникли еще вопросы или затруднения, пожалуйста, сообщите мне.
Для начала, давайте разберемся, что такое математическое ожидание. Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, которое можно получить, усреднив значение случайной величины с учетом их вероятностей.
Теперь перейдем к решению задачи:
a) У нас дана плотность распределения f(x) = 5e^(-5x), где x ≥ 0.
Для нахождения математического ожидания показательного распределения, нужно проинтегрировать x*f(x) по всем значениям x, умноженным на плотность распределения, то есть:
E(X) = ∫(x * f(x)) dx (от 0 до ∞)
Подставим плотность распределения f(x) = 5e^(-5x):
E(X) = ∫(x * 5e^(-5x)) dx (от 0 до ∞)
Для решения этого интеграла, воспользуемся методом интегрирования по частям:
∫(a * b) dx = a * ∫b dx - ∫(a' * ∫b dx) dx
где a = x, b = 5e^(-5x), a' = 1, b' = -5e^(-5x)
Применяем метод интегрирования по частям:
E(X) = x * (-e^(-5x)) - ∫((-e^(-5x)) * 1) dx (от 0 до ∞)
Упростим:
E(X) = -x * e^(-5x) + 5∫e^(-5x) dx (от 0 до ∞)
Вычислим интеграл ∫e^(-5x) dx:
E(X) = -x * e^(-5x) - (∫e^(-5x) dx / (-5)) (от 0 до ∞)
E(X) = -x * e^(-5x) + (1/5) * (∫e^(-5x) dx) (от 0 до ∞)
Для интеграла ∫e^(-5x) dx можно использовать формулу интегрирования:
∫e^(ax) dx = (1/a) * e^(ax)
В данном случае a = -5, поэтому:
∫e^(-5x) dx = (1/(-5)) * e^(-5x)
Подставляем это значение в формулу для E(X):
E(X) = -x * e^(-5x) + (1/5) * (1/(-5)) * e^(-5x) (от 0 до ∞)
E(X) = -x * e^(-5x) - (1/25) * e^(-5x) (от 0 до ∞)
Рассмотрим первое слагаемое при подстановке ∞:
lim(x→∞) -x * e^(-5x) = -∞
Рассмотрим первое слагаемое при подстановке 0:
lim(x→0) -x * e^(-5x) = 0
Теперь рассмотрим второе слагаемое:
lim(x→∞) -(1/25) * e^(-5x) = 0
Рассмотрим второе слагаемое при подстановке 0:
-(1/25) * e^(-5*0) = -(1/25) * e^0 = -(1/25) * 1 = -1/25
Теперь найдем разность этих пределов:
E(X) = lim(x→∞) -x * e^(-5x) - lim(x→0) -x * e^(-5x) - lim(x→∞) -(1/25) * e^(-5x) + lim(x→0) -(1/25) * e^(-5x)
= -∞ - 0 - 0 - (-1/25)
= -∞ + 1/25 = -∞
Так как математическое ожидание должно быть конечным числом, в данном случае оно не существует. Поэтому ответ: математическое ожидание показательного распределения, заданного плотностью распределения f(x) = 5e^(-5x), х ≥ 0, не существует.
b) У нас дана функция распределения F(x) = 1 - e^(-0.1x), где x ≥ 0.
Мы можем найти математическое ожидание из функции распределения, используя следующую формулу:
E(X) = ∫(1 - F(x)) dx (от 0 до ∞)
Для решения этого интеграла, заметим, что ∫F(x) dx = x * F(x). Поэтому:
E(X) = ∫(1 - F(x)) dx (от 0 до ∞)
= x * (1 - F(x)) | от 0 до ∞ - ∫x * (-F'(x)) dx (от 0 до ∞)
Теперь продолжим решение:
E(X) = [x * (1 - F(x))] (от 0 до ∞) - ∫x * (-F'(x)) dx (от 0 до ∞)
= ∞ * (1 - F(∞)) - 0 * (1 - F(0)) - ∫x * (-F'(x)) dx (от 0 до ∞)
= ∞ * (1 - 1) - 0 * (1 - F(0)) - ∫x * (-F'(x)) dx (от 0 до ∞)
= ∞ * 0 - 0 * (1 - F(0)) - ∫x * (-F'(x)) dx (от 0 до ∞)
= 0 - 0 * (1 - F(0)) - ∫x * (-F'(x)) dx (от 0 до ∞)
= 0 - 0 - ∫x * (-F'(x)) dx (от 0 до ∞)
= - ∫x * (-F'(x)) dx (от 0 до ∞)
Аналогично получению математического ожидания из плотности распределения, мы можем использовать метод интегрирования по частям:
∫(a * b) dx = a * ∫b dx - ∫(a' * ∫b dx) dx
где a = x, b = -F'(x), a' = 1, b' = -F(x)'
Применяем метод интегрирования по частям:
E(X) = -x * [-F(x)] + ∫[-F(x) * 1] dx (от 0 до ∞)
Упростим:
E(X) = x * F(x) + ∫F(x) dx (от 0 до ∞)
Вычислим интеграл ∫F(x) dx:
E(X) = x * F(x) + ∫(1 - e^(-0.1x)) dx (от 0 до ∞)
= x * (1 - e^(-0.1x)) + (∫1 dx - ∫e^(-0.1x) dx) (от 0 до ∞)
= x * (1 - e^(-0.1x)) + (x - (-10) * e^(-0.1x)) (от 0 до ∞)
= x - x * e^(-0.1x) + x + 10 * e^(-0.1x) (от 0 до ∞)
= 2x + 10 * e^(-0.1x) - x * e^(-0.1x) (от 0 до ∞)
Рассмотрим пределы слагаемых при подстановке ∞:
lim(x→∞) 2x = ∞
lim(x→∞) 10 * e^(-0.1x) = 0
lim(x→∞) -x * e^(-0.1x) = -∞
Теперь рассмотрим пределы слагаемых при подстановке 0:
lim(x→0) 2x = 0
lim(x→0) 10 * e^(-0.1x) = 10 * e^0 = 10
lim(x→0) -x * e^(-0.1x) = 0
Теперь найдем разность этих пределов:
E(X) = lim(x→∞) 2x + lim(x→∞) 10 * e^(-0.1x) - lim(x→∞) -x * e^(-0.1x) - lim(x→0) 2x - lim(x→0) 10 * e^(-0.1x) - lim(x→0) -x * e^(-0.1x)
= ∞ + 0 - (-∞) - 0 - 10 + 0
= ∞ + ∞ + ∞
= ∞
Так как математическое ожидание равно бесконечности, ответ: математическое ожидание показательного распределения, заданного функцией распределения F(x) = 1 - e^(-0.1x), х ≥ 0, равно бесконечности.
Я надеюсь, что данное решение ясно и понятно вам. Если у вас возникли еще вопросы или затруднения, пожалуйста, сообщите мне.