В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Д
Другие предметы
Х
Химия
М
Музыка
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
У
Українська література
Ф
Французский язык
П
Психология
А
Алгебра
О
Обществознание
М
МХК
В
Видео-ответы
Г
География
П
Право
Г
Геометрия
А
Английский язык
И
Информатика
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
ukrkaravan757
ukrkaravan757
28.07.2021 23:11 •  Математика

Найти множество значений функции
f(x) = arccos( \frac{ \cos(x) }{ \cos(x) + 1 } )

Показать ответ
Ответ:
Kymir1
Kymir1
06.10.2020 02:55

D[f(x)] \in \left[\dfrac{\pi}{3}, \pi \right]

Пошаговое объяснение:

Сначала разберёмся с базовыми областью определения E и множеством значений D арккосинуса:

Арккосинус принимает значения только от -1 до +1: E[\arccos{x}] \in [-1, 1].

Арккосинус -- монотонная функция, которая достигает в краевых точка следующих значений: \arccos{(-1)} = \pi; \arccos{(1)} = 0. Значит множество значений арккосинуса не может выходить следующих рамок:

D[\arccos{x}] \in [0, \pi]

Далее, перейдём к нашей функции f(x) = \arccos{\dfrac{\cos{x}}{\cos{x}+1}}. Для того, чтобы понять, какие значения может иметь данная функция, нужно понять, какие значения может иметь функция g(x) = \dfrac{\cos{x}}{\cos{x}+1}. Так как E[f(x)] = D[g(x)].

У функции g(x) существуют асимптоты x = \pi + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}, при приближении к которым функция стремится к -\infty (решение уравнения \cos{x}+1 = 0). Значит нам уже понятно, что минимальное значение функции g(x) стремится к минус бесконечности.

Найдём экстремальные точки функции g(x) (на самом деле максимальные, но желательно это формально доказать). Для этого приравняем производную g(x) к 0.

Найдём g'(x):

g'(x) = - \dfrac{\sin{x}}{(\cos{x}+1)^2}

Найдём экстремальные точки x^*:

g'(x^*) = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \sin{x^*} = 0

Принимая во внимание ОДЗ, решением остаются точки x^* = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}.

Эти точки являются экстремальными. Докажем, что они являются максимумами. Для этого найдём вторую производную g(x):

g''(x) = \dfrac{\cos{x}-2}{(\cos{x}+1)^2}

В числителе стоит всегда отрицательная величина, в знаменателе -- всегда положительная. Значит, g''(x) всегда отрицательна. Отсюда следует, что функция g(x) является вогнутой, и для неё ВСЕ экстремальные точки являются максимумами.

Значит x^* = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} -- максимумы.

Значения функции в этих точках: g(x^*) = \dfrac{1}{2}

Получается, что D[g(x)] \in \left(-\infty, \dfrac{1}{2} \right ].

То есть область определения f(x) следующая:

E[f(x)] \in \left( -\infty, \dfrac{1}{2} \right].

Однако мы знаем, что область определения арккосинуса не может выходить за пределы [-1, 1]. Значит придётся пересечь эти множества и в итоге окажется:

E[f(x)] \in \left[ -1, \dfrac{1}{2} \right].

Так как \arccos{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\pi}{3}, то множество значений получается следующим:

D[f(x)] \in \left[\dfrac{\pi}{3}, \pi \right]

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота