Хорошо! Для решения этой задачи, нам необходимо найти наилучшие значения функции z в заданной области x∈[0; 4], y∈[0; 4]. Давайте разобъем эту задачу на несколько шагов:
Шаг 1: Найдем критические точки функции z(x, y). Критические точки - это точки, где градиент функции равен нулю или не определен.
Для нашей функции z(x, y) = x^3 + y^3 - 9xy + 27, возьмем ее частные производные по x и y и приравняем их нулю. Таким образом, получаем следующую систему уравнений:
Решая эту систему уравнений, найдем критические точки.
Из уравнения (1) получаем:
3x^2 - 9y = 0
3x^2 = 9y
x^2 = 3y
x = ± sqrt(3y) ---------(3)
Из уравнения (2) получаем:
3y^2 - 9x = 0
3y^2 = 9x
y^2 = 3x
y = ± sqrt(3x) ---------(4)
Теперь у нас есть две пары уравнений (3) и (4), которые определяют наши критические точки.
Шаг 2: Определяем значения x и y в заданных интервалах. У нас есть x ∈ [0; 4] и y ∈ [0; 4].
Мы можем заметить, что x и y не могут быть отрицательными числами, так как они возводятся в квадрат. Таким образом, нам остается проверить только положительные значения x и y.
Шаг 3: Подставляем значения критических точек в функцию z и находим значения функции z.
Подставим значения критических точек в функцию z(x, y) = x^3 + y^3 - 9xy + 27 и найдем соответствующие значения функции z:
a) Подставление точки x = sqrt(3y) в функцию z(x, y):
z = (sqrt(3y))^3 + y^3 - 9 * sqrt(3y) * y + 27
z = 3y*sqrt(3y) + y^3 - 9y*sqrt(3y) + 27
z = -6y*sqrt(3y) + 3y*sqrt(3y) + y^3 + 27
z = -3y*sqrt(3y) + y^3 + 27
b) Подставление точки x = -sqrt(3y) в функцию z(x, y):
z = (-sqrt(3y))^3 + y^3 - 9 * -sqrt(3y) * y + 27
z = -3y*sqrt(3y) + y^3 + 27
c) Подставление точки y = sqrt(3x) в функцию z(x, y):
z = x^3 + (sqrt(3x))^3 - 9x * sqrt(3x) + 27
z = x^3 + 3x*sqrt(3x) - 9x * sqrt(3x) + 27
z = x^3 - 6x*sqrt(3x) + 27
d) Подставление точки y = -sqrt(3x) в функцию z(x, y):
z = x^3 + (-sqrt(3x))^3 - 9x * -sqrt(3x) + 27
z = x^3 - 6x*sqrt(3x) + 27
Шаг 4: Находим максимальное и минимальное значение функции z.
Теперь осталось найти максимальное и минимальное значение функции z(x, y) в заданной области x ∈ [0; 4], y ∈ [0; 4]. Для этого подставим значения x и y из заданных интервалов в выражения, найденные на предыдущем шаге, и найдем соответствующие значения функции z.
Заметим, что функция z только включает положительные степени x и y, и следовательно, будет монотонно возрастающей по отношению к x и y. Это означает, что минимальное значение функции будет достигаться в точке (0, 0), а максимальное значение - в точке (4, 4).
Таким образом, наименьшее значение функции z равно:
z(0, 0) = 0^3 + 0^3 - 9 * 0 * 0 + 27
z(0, 0) = 0 + 0 - 0 + 27
z(0, 0) = 27
Шаг 1: Найдем критические точки функции z(x, y). Критические точки - это точки, где градиент функции равен нулю или не определен.
Для нашей функции z(x, y) = x^3 + y^3 - 9xy + 27, возьмем ее частные производные по x и y и приравняем их нулю. Таким образом, получаем следующую систему уравнений:
dz/dx = 3x^2 - 9y = 0 ---------(1)
dz/dy = 3y^2 - 9x = 0 ---------(2)
Решая эту систему уравнений, найдем критические точки.
Из уравнения (1) получаем:
3x^2 - 9y = 0
3x^2 = 9y
x^2 = 3y
x = ± sqrt(3y) ---------(3)
Из уравнения (2) получаем:
3y^2 - 9x = 0
3y^2 = 9x
y^2 = 3x
y = ± sqrt(3x) ---------(4)
Теперь у нас есть две пары уравнений (3) и (4), которые определяют наши критические точки.
Шаг 2: Определяем значения x и y в заданных интервалах. У нас есть x ∈ [0; 4] и y ∈ [0; 4].
Мы можем заметить, что x и y не могут быть отрицательными числами, так как они возводятся в квадрат. Таким образом, нам остается проверить только положительные значения x и y.
Шаг 3: Подставляем значения критических точек в функцию z и находим значения функции z.
Подставим значения критических точек в функцию z(x, y) = x^3 + y^3 - 9xy + 27 и найдем соответствующие значения функции z:
a) Подставление точки x = sqrt(3y) в функцию z(x, y):
z = (sqrt(3y))^3 + y^3 - 9 * sqrt(3y) * y + 27
z = 3y*sqrt(3y) + y^3 - 9y*sqrt(3y) + 27
z = -6y*sqrt(3y) + 3y*sqrt(3y) + y^3 + 27
z = -3y*sqrt(3y) + y^3 + 27
b) Подставление точки x = -sqrt(3y) в функцию z(x, y):
z = (-sqrt(3y))^3 + y^3 - 9 * -sqrt(3y) * y + 27
z = -3y*sqrt(3y) + y^3 + 27
c) Подставление точки y = sqrt(3x) в функцию z(x, y):
z = x^3 + (sqrt(3x))^3 - 9x * sqrt(3x) + 27
z = x^3 + 3x*sqrt(3x) - 9x * sqrt(3x) + 27
z = x^3 - 6x*sqrt(3x) + 27
d) Подставление точки y = -sqrt(3x) в функцию z(x, y):
z = x^3 + (-sqrt(3x))^3 - 9x * -sqrt(3x) + 27
z = x^3 - 6x*sqrt(3x) + 27
Шаг 4: Находим максимальное и минимальное значение функции z.
Теперь осталось найти максимальное и минимальное значение функции z(x, y) в заданной области x ∈ [0; 4], y ∈ [0; 4]. Для этого подставим значения x и y из заданных интервалов в выражения, найденные на предыдущем шаге, и найдем соответствующие значения функции z.
Заметим, что функция z только включает положительные степени x и y, и следовательно, будет монотонно возрастающей по отношению к x и y. Это означает, что минимальное значение функции будет достигаться в точке (0, 0), а максимальное значение - в точке (4, 4).
Таким образом, наименьшее значение функции z равно:
z(0, 0) = 0^3 + 0^3 - 9 * 0 * 0 + 27
z(0, 0) = 0 + 0 - 0 + 27
z(0, 0) = 27
Наибольшее значение функции z равно:
z(4, 4) = 4^3 + 4^3 - 9 * 4 * 4 + 27
z(4, 4) = 64 + 64 - 9 * 16 + 27
z(4, 4) = 128 - 144 + 27
z(4, 4) = 11
Ответ:
Наименьшее значение функции z равно 27 и достигается в точке (0, 0).
Наибольшее значение функции z равно 11 и достигается в точке (4, 4).