НОК делится на НОД, так как НОК включает в себя максимальные степени чисел в разложении на простые множители, а НОД — минимальные. То есть вся левая часть делится на НОД. Тогда и правая часть должна делиться на НОД. a⋮НОД(a; b), b⋮НОД(a; b) ⇒ 2⋮НОД(a; b) ⇒ НОД(a; b) = 1 или 2.
Если НОД(a; b) = 1, то есть числа взаимно просты, то НОК(a; b) = ab. Получаем
При a = 1 равенство не выполняется, значит, можем поделить на a-1:
Получаем решения (2; 3), (3; 2).
Если НОД(a; b) = 2, то пусть a = 2k, b = 2m, где k и m — взаимно простые числа. Тогда
НОД(2k; 2m) + НОК(2k; 2m) = 2k + 2m + 2
2НОД(k; m) + 2НОК(k; m) = 2k + 2m + 2
При m = 1 равенство не выполняется, значит, можем поделить на m-1:
Но k и m — взаимно простые числа. Значит, в данном случае решений нет.
Первое взвешивание: на каждую чашку весов кладем по три монеты. Если весы уравновешены, то для второго взвешивания берутся две из трех оставшихся монет. Если фальшивая монета на весах, то ясно, на какой она чашке весов. Если же весы уравновешены, то фальшивой является оставшаяся не взвешенная монета. Если при первом взвешивании одна из чашек перевешивает другую, то фальшивая монета находится среди монет, вес которых оказывается меньше. Тогда вторым взвешиванием устанавливаем, какая из монет фальшивая.
НОК делится на НОД, так как НОК включает в себя максимальные степени чисел в разложении на простые множители, а НОД — минимальные. То есть вся левая часть делится на НОД. Тогда и правая часть должна делиться на НОД. a⋮НОД(a; b), b⋮НОД(a; b) ⇒ 2⋮НОД(a; b) ⇒ НОД(a; b) = 1 или 2.
Если НОД(a; b) = 1, то есть числа взаимно просты, то НОК(a; b) = ab. Получаем
При a = 1 равенство не выполняется, значит, можем поделить на a-1:
Получаем решения (2; 3), (3; 2).
Если НОД(a; b) = 2, то пусть a = 2k, b = 2m, где k и m — взаимно простые числа. Тогда
НОД(2k; 2m) + НОК(2k; 2m) = 2k + 2m + 2
2НОД(k; m) + 2НОК(k; m) = 2k + 2m + 2
При m = 1 равенство не выполняется, значит, можем поделить на m-1:
Но k и m — взаимно простые числа. Значит, в данном случае решений нет.
ответ: (2; 3), (3; 2)