n+1 - й член ряда a(n+1) имеет вид a(n+1)=(x-1)^(n+1)/[2*(n+1)n²]=(x-1)*(x-1)^n/[2*(n+1)²]. Находим отношение n+1 - го члена ряда к n-му: a(n+1)/a(n)=2*n²*(x-1)/[2*(n+1)²]. Так как выражения 2*n² и 2*(n+1)² всегда положительны, то модуль этого отношения /a(n+1)/a(n)/=/x-1/*2*n²/[2*(n+1)²]. Предел этого выражения при n⇒∞ равен /x-1/ . Составляем неравенство /x-1/<1 и находим его решение: 0<x<2. Поэтому интервал (0;2) является интервалом сходимости для данного ряда. Остаётся исследовать сходимость ряда на концах этого интервала.
1) При x=0 получаем числовой ряд ∑(-1)^n/(2*n²). Ряд, составленный из модулей членов этого ряда, сходится, так его члены 1/(2*n²) меньше соответствующих членов ряда обратных квадратов ∑1/n², который, как известно, сходится. Поэтому в точке x=0 ряд сходится, причём абсолютно.
2) При x=2 получаем ряд ∑1^n/(2*n²)=∑1/(2*n²). Как только что было показано, этот ряд сходится, поэтому и в этой точке ряд сходится.
Поэтому областью сходимости ряда является интервал x∈[0;2].
ответ: x∈[0;2].
Пошаговое объяснение:
n+1 - й член ряда a(n+1) имеет вид a(n+1)=(x-1)^(n+1)/[2*(n+1)n²]=(x-1)*(x-1)^n/[2*(n+1)²]. Находим отношение n+1 - го члена ряда к n-му: a(n+1)/a(n)=2*n²*(x-1)/[2*(n+1)²]. Так как выражения 2*n² и 2*(n+1)² всегда положительны, то модуль этого отношения /a(n+1)/a(n)/=/x-1/*2*n²/[2*(n+1)²]. Предел этого выражения при n⇒∞ равен /x-1/ . Составляем неравенство /x-1/<1 и находим его решение: 0<x<2. Поэтому интервал (0;2) является интервалом сходимости для данного ряда. Остаётся исследовать сходимость ряда на концах этого интервала.
1) При x=0 получаем числовой ряд ∑(-1)^n/(2*n²). Ряд, составленный из модулей членов этого ряда, сходится, так его члены 1/(2*n²) меньше соответствующих членов ряда обратных квадратов ∑1/n², который, как известно, сходится. Поэтому в точке x=0 ряд сходится, причём абсолютно.
2) При x=2 получаем ряд ∑1^n/(2*n²)=∑1/(2*n²). Как только что было показано, этот ряд сходится, поэтому и в этой точке ряд сходится.
Поэтому областью сходимости ряда является интервал x∈[0;2].