Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти общее решение дифференциального уравнения: 2x^2y'=x^2+y^2; yy'=2y-x

Показать ответ

Ответ:

lddobroz

07.10.2020 10:16

Линейное однородное дифференциальное уравнение
$2x^2y'=x^2+y^2\\y=tx;y'=t'x+t\\2x^2(t'x+t)=x^2+t^2x^2|:x^2\\2\frac{dt}{dx}x+2t=1+t^2\\\frac{2xdt}{dx}=t^2-2t+1|*\frac{dx}{x(t^2-2t+1)}\\\frac{dx}{x}=\frac{2dt}{t^2-2t+1}\\\int\frac{dx}{x}=2\int\frac{d(t-1)}{(t-1)^2}\\ln|x|=-\frac{2}{t-1}+C\\ln|x|+\frac{2}{\frac{y}{x}-1}=C\\ln|x|+\frac{2x}{y-x}=C$
В результате деления на t^2-2t+1 мы теряем возможное решение: x=y, проверяем:
$y=x\\y'=1\\2x^2y'=x^2+y^2\\2x^2=x^2+x^2\\2x^2=2x^2$
y=x является решением дифференциального уравнения.
Окончательный ответ:
$ln|x|+\frac{2x}{y-x}=C;y=x$
----------
Линейное однородное дифференциальное уравнение
$yy'=2y-x\\y=tx;y'=t'x+t\\tx(t'x+t)=2tx-x|:x\\t(t'x+t)=2t-1\\t'x+t=2-\frac{1}{t}\\\frac{xdt}{dx}=\frac{2t-1-t^2}{t}\\\frac{dx}{x}=-\frac{1}{t-1}-\frac{1}{(t-1)^2}\\\int\frac{dx}{x}=-\int\frac{d(t-1)}{t-1}-\int\frac{d(t-1)}{(t-1)^2}\\ln|x|=-ln|t-1|+\frac{1}{t-1}+C\\ln|y-x|-\frac{x}{y-x}=C$
В результате деления на t мы теряем возможное решение: y=0, проверяем:
$y=0\\y'=0\\0\neq0-x\\0\neq x$
Нет, y=0 не является решением дифференциального уравнения.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

sashamissmalevozgk56

16.03.2023 08:12

На доске записано число 23. Каждую минуту число стирают с доски и записывают на его месте произведение его цифр , увеличенное на 15. Через одну минуту на доске будет...

an121759

17.05.2023 09:54

Как называется на улице 3 цвета дорого указываевшся...

AnnaM448

04.05.2020 20:45

-2bc*(-0,03bc^6) привести в стандартный вид !...

visaenko1974

09.08.2022 05:08

одну из сторон прямоугольника увеличили в 5 раз от этого его периметр увеличился в 4 раза во сколько раз отличаются стороны прямоугольника?...

zhenyakozyrkova

03.04.2023 04:06

велосипедист їхав 2 години зі швидкістю а км/год , а потім ще 3 години зі швидкістю б км/год. Яку швидкисть велосепидист за весь цей час? (а=18,б=25)...

asd149

09.06.2023 04:39

Вопрос 1, уровень 3: Если 30% времени выполнения может быть ускорено, p будет равно 0,3; если улучшение делает затронутую часть вдвое быстрее, s будет равно 2. Закон...

Еденорожка666

20.03.2020 03:57

4сынып 33сабақ 9тапсырма қалай шығарады?...

gafman

05.11.2021 16:09

Определи порядок выполнения действий и вычисли. 54:6+5×7 (24+6):5+2 45:(18:2)+27 (37-17):(12-8) 6×5+32:8 67+29-5×7...

llllloolllllllllk

10.03.2020 00:38

Директор школы, завхоз и родительский комитет, не договорившись друг с другом, купили по ковру для школьного актового зала размером 10×10. Подумав, что же делать, они...

345153

09.01.2020 04:20

Перенеси одну палочку что бы получилось верное равенство...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку