Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти общее решение дифференциального уравнения
(x+y)dx+(x+2y)dy=0

Показать ответ

Ответ:

GabriellaKiM

15.10.2020 15:08

(x + y)dx + (x + 2y)dy = 0

$(x + 2y)dy = -(x + y)dx \ \ \ |:(x + 2y) \neq 0$

$dy = -\dfrac{x + y}{x + 2y} dx \ \ \ |:dx$

$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x + y}{x + 2y}$

$y' = -\dfrac{x + y}{x + 2y}$

Пусть $f(x,y) = -\dfrac{x + y}{x + 2y}$

Тогда $f(\lambda x,\lambda y) = -\dfrac{\lambda x + \lambda y}{\lambda x + 2\lambda y}= -\dfrac{\lambda (x + y)}{\lambda (x + 2y)} =-\dfrac{x + y}{x + 2y} = \lambda^{0}f(x,y)$

Имеем однородную функцию f(x,y) нулевого измерения.

Положим $\lambda = \dfrac{1}{x}$ в $f(\lambda x,\lambda y)$ , то есть $f(x,y) = f \left(1; \ \dfrac{y}{x} \right)$

Тогда $y' = f \left(1; \ \dfrac{y}{x} \right)$ . Замена: $u(x) = \dfrac{y}{x}$ , откуда $y = u(x) \cdot x$ и $y' = u'(x) \cdot x + u(x)$

Здесь u(x) = u , тогда имеем уравнение:

$u'x + u = -\dfrac{x + ux}{x + 2ux}$

$u'x + u = -\dfrac{x(1 + u)}{x(1 + 2u)}$

$u'x = -\dfrac{1 + u}{1 + 2u} - u$

$u'x = -\dfrac{1 + u + u(1 + 2u)}{1 + 2u}$

$u'x = -\dfrac{1 + u + u + 2u^{2}}{1 + 2u}$

$\dfrac{du}{dx} \cdot x = -\dfrac{2u^{2} + 2u + 1}{1 + 2u}$

$\dfrac{1 + 2u}{2u^{2} + 2u + 1} du = -\dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle \int \dfrac{1 + 2u}{2u^{2} + 2u + 1} du = -\int \dfrac{dx}{x}$

$1) \ \displaystyle \int \dfrac{1 + 2u}{2u^{2} + 2u + 1} du = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{4u + 2}{2u^{2} + 2u + 1} du = \left|\begin{array}{ccc}2u^{2} + 2u + 1 = t\\(4u + 2)du = dt\\\end{array}\right| =$

$= \displaystyle \dfrac{1}{2} \int \dfrac{dt}{t} = \dfrac{1}{2} \ln |t| + C_{1} = \dfrac{1}{2} \ln |2u^{2} + 2u + 1| + C_{1}$

$2) \ \displaystyle -\int \dfrac{dx}{x} = -\ln|x| + C_{2}$

$\dfrac{1}{2} \ln |2u^{2} + 2u + 1| + C_{1} = -\ln|x| + C_{2}$

$\ln \sqrt{2u^{2} + 2u + 1} = \ln\left|\dfrac{1}{x} \right| + \ln |C|$

$\ln \sqrt{2u^{2} + 2u + 1} = \ln\left|\dfrac{C}{x} \right|$

$\sqrt{2u^{2} + 2u + 1} = \left|\dfrac{C}{x} \right|$

$2u^{2} + 2u + 1 = \dfrac{C}{x^{2}}$

Обратная замена:

$2\left(\dfrac{y}{x} \right)^{2} + 2\left(\dfrac{y}{x} \right) + 1 = \dfrac{C}{x^{2}}$

$\dfrac{2y^{2}}{x^{2}} + \dfrac{2y}{x} + 1 = \dfrac{C}{x^{2}}$

$\dfrac{2y^{2} + 2xy + x^{2}}{x^{2}} = \dfrac{C}{x^{2}}$

$2y^{2} + 2xy + x^{2} = C$ — общий интеграл

ответ: $2y^{2} + 2xy + x^{2} = C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Vanpal03

30.12.2020 16:13

Линейное неравенство с одной переменной. Решение линейных неравенств с одной переменной. Урок 3 Реши неравенство. 3x+6.1 /4 2x -7 /3 ответ: x ∈ ; ....

Den30001

05.02.2021 19:07

9. На прямоугольном листе картона длиной 12 см и шириной 8 см вырезали по углам равные квадраты со стороной 1 см и из оставшейся части склеили коробку (без крышки). Определите...

dzeratigieva

04.03.2023 10:27

ЛИСТ БУМАГИ сложили в четверо и отрезали уголок мысленно разверни листок и определи что из него получился обведи правильный вариант ответа...

Nisawe

24.08.2020 17:00

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой BD1 и плоскостью АВС....

VladimirLapskiy

07.08.2020 12:36

Реши неравенство. р-+ 5, 4 + 2, 556ответ: pєMНазадMПроверить...

23.02.2020 03:03

РАБОТА В ГРУППЕ 7Вычисли и выполни проверку.100 000 - 895325 864 + 546 879306 400×503968×547 3 952:52 33 855: 111 В СТОЛБИК И С ФОТО...

LapaVay

12.10.2021 10:22

14 Начерти схему и реши задачу: Одна коробка конфет стоит 176 р. Сколько стоят: а) 2 та- кие коробки; б) 4 такие коробки; в) 8 таких коробок; г) 9 таких коробок?...

Артем00796678756

14.09.2021 10:20

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ФО 1. Определи правильный порядок действий в выражении:640 -70 х 8 + 241А) вычитание, умножение, сложение;Б) умножение, сложение, вычитание;В) умножение, вычитание,...

VladimirLK

31.01.2022 12:17

Приведи подобные слагаемые: 15.37х + 27.2 - 9,77 – х...

LOTOTSKAA

16.02.2023 06:32

Нарисуйте трехграннопризматический треугольник в трехмерном используя дополнительную ось идущую под 48.11 градусов относительно x, лежащего на 90.1 градус от y и на 77.15...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку