logo
Войти Регистрация Спроси ai-bota
В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Д
Другие предметы
Х
Химия
М
Музыка
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
У
Українська література
Ф
Французский язык
П
Психология
А
Алгебра
О
Обществознание
М
МХК
В
Видео-ответы
Г
География
П
Право
Г
Геометрия
А
Английский язык
И
Информатика
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
skey16
skey16
07.09.2021 05:05 •  Математика

Найти общее решение дифференциального уравнения: y''(1+sinx)-1=0

Показать ответ
Ответ:
Pisos1337228
Pisos1337228
01.09.2020 06:50
y''(1+\sin x)-1=0\\ \\ y''= \frac{1}{1+\sin x}

Проинтегрируем обе части уравнения

y'= \int\limits {\frac{1}{1+\sin x} } \, dx

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Пусть u=tg \frac{x}{2}, тогда \sin x= \frac{2u}{u^2+1};\,\,\,\, \cos x= \frac{1-u^2}{1+u^2}

Будем иметь

\displaystyle \int\limits \frac{2du}{u^2+2u+1} = \int\limits\frac{2du}{(u+1)^2} =- \frac{2}{u+1} +C_1=- \frac{2}{tg\frac{x}{2}+1} +C_1

y'=- \dfrac{2}{tg\frac{x}{2}+1} +C_1

Интегрируя снова, получаем

\displaystyle y= \int\limits\bigg(- \frac{2}{tg\frac{x}{2}+1} +C_1\bigg)dx

Решим интегральчик сначала)

\displaystyle - \int\limits \frac{2dx}{tg\frac{x}{2}+1}=\bigg\{v=tg \frac{x}{2} \bigg\}=-4 \int\limit \frac{dv}{(v+1)(v^2+1)} =\\ \\ \\ =-2 \int\limits \frac{1-v}{v^2+1}dv -2 \int\limits \frac{1}{v+1} dv=-2arctg v+\ln|v^2+1|-2\ln|v+1|+C=\\\\ \\ =-x-2\ln|tg \frac{x}{2} +1|+\ln \frac{1}{\cos^2x} +C

Общее решение: 

\boxed{y=-x-2\ln|tg \frac{x}{2} +1|+\ln \frac{1}{\cos^2x} +C_1x+C_2}
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Kapusto4ga
Kapusto4ga
03.04.2022 07:29
В вычислите площадь заданной фигуры 10см 5 см 8 см 4см...
Maria9613
Maria9613
19.08.2022 07:51
А×5, якщо а= 8,4,9 відповідь...
bulyginaap08na1
bulyginaap08na1
25.01.2021 22:30
Задумали число, увеличили его в 3 раза, полученный ре- зультат увеличили ещё в 4 раза. Во сколько раз увеличилось число в итоге?...
kaamazon
kaamazon
25.05.2022 03:09
номер 10 под пунктом б сросно♠️...
Ляляляля109
Ляляляля109
28.11.2020 06:29
94°. Решите задачу, используя распределительное свойство умно- жения:1) у Маулена есть кролики. У них ног на 42 больше, чемголов. Сколько кроликов у Маулена?2) Во дворе играют щенки....
ledzep
ledzep
12.11.2021 21:46
6. Чему равно: 9 а) b) с) на с d) 5...
dsdg1g
dsdg1g
30.08.2020 10:49
Раскройте скобки и превидите подобные слагаемые -(5,3a+1,8b)+(0,5b-1,3a)-(1,6b-5,3a)...
Angelina12323
Angelina12323
21.08.2020 02:57
Вычислите 5/11+3/22 6 5/6-4 7/8 -2/13*39/40 25/51:15/17...
ГрозаТараканов
ГрозаТараканов
25.12.2022 08:44
Математика, 6 класс. Сделайте как можно быстрее, все 2 файла....
leradorozhnyak
leradorozhnyak
15.03.2020 00:20
Номер 62 математика 6 класс мерзляк...
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
О НАС
СООБЩЕСТВО
ПОМОЩЬ
App
.
.
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота