Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения методом неопределенных коэффициентов. у" +25у = 100xsin5x+50cos5x необходимо указать корни характеристического уравнения, вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (с неопределенными коэффициентами).
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:
Пусть
, получим характеристическое уравнение:
Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня Два линейно независимые решения это![y_1=\cos 5x,~ y_2=\sin5x](/tpl/images/0321/5604/f171d.png)
Общее решение однородного дифференциального уравнения:
Рассмотрим правую часть дифференциального уравнения:
Число
принимает значение
, это число является корнем характеристическое уравнение
. Кратность k=1
Частное решение будем искать в виде:
Вычислим для нее производную второго порядка
Подставив в исходное дифференциальное уравнение, получим:
Приравниваем коэффициенты при xcos5x, xsin5x, sin5x, cos5x, получим систему уравнений:
Частное решение:![y^{**}=6x\sin 5x-5x^2\cos 5x](/tpl/images/0321/5604/02773.png)
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: