Найти общий интеграл дифференциального уравнения: 1)xydx+(1+y^2)sqrt(1+x^2)dy=0; 2)(1+x^2)y'+y*sqrt(1+x^2)=xy;

Показать ответ

Ответ:

ParaDoksalS

20.08.2020 23:15

$xy*dx+(1+y^2)*\sqrt{1+x^2}*dy=0|*\frac{1}{y\sqrt{1+x^2}}\\\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}=-\frac{(1+y^2)dy}{y}\\\int \frac{d(1+x^2)}{\sqrt{1+x^2}}=\int(-\frac{1}{y}-y)dy\\\sqrt{1+x^2}=-ln|y|-\frac{y^2}{2}+C\\\sqrt{1+x^2}+ln|y|+\frac{y^2}{2}=C\\\\\\\sqrt{1+x^2}+ln|y|+\frac{y^2}{2})'=C'\\\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y'}{y}+yy'=0|*y\sqrt{1+x^2}dx\\xydx+(1+y^2)\sqrt{1+x^2}dy$
В начале при делении потеряли ответ y=0, поэтому полный ответ:
$(\sqrt{1+x^2}+ln|y|+\frac{y^2}{2}=C\ ;y=0$

$(1+x^2)*y'+y*\sqrt{1+x^2}=xy|*\frac{dx}{y(1+x^2)}\\\frac{dy}{y}+\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{xdx}{1+x^2}\\\frac{dy}{y}=\frac{1}{2}\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}-\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}\\\int\frac{dy}{y}=\frac{1}{2}\int\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}-\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}\\ln|y|=\frac{1}{2}ln|1+x^2|-ln|x+\sqrt{1+x^2}|+C\\ln|y|=ln|\sqrt{1+x^2}|-ln|x+\sqrt{1+x^2}|+ln|C|\\ln|y|=ln|\frac{C\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}|\\y=\frac{C\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}\\y*\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}=C$
Проверка:
$(y*\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}})'=C'\\y'*\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}+y*{\frac{(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})*\sqrt{1+x^2}-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}*(x+\sqrt{1+x^2})}{1+x^2}}=0\\y'*\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}+y*{\frac{(\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}})*\sqrt{1+x^2}-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}*(x+\sqrt{1+x^2})}{1+x^2}}=0|*\frac{\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}\\y'+y\frac{\sqrt{1+x^2}-x}{1+x^2}=0|*(1+x^2)\\(1+x^2)y'+y\sqrt{1+x^2}-xy=0\\(1+x^2)y'+y\sqrt{1+x^2}=xy$
В этом примере мы тоже теряем решение y=0, но дописывать его не надо т.к. у=0 при С=0

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика