Для решения данного дифференциального уравнения, мы будем использовать метод разделения переменных.
Первым шагом является разделение переменных, то есть перемещение всех выражений, содержащих х, в одну сторону уравнения, а всех выражений, содержащих y, в другую сторону. Для этого вычтем dx из обоих частей уравнения и разделим оба слагаемых на sqrt(5+y^2):
sqrt(5+y^2)dx = -4((x^2)y + y)dy
Теперь у нас есть уравнение вида f(x)dx = g(y)dy, где f(x) = sqrt(5+y^2) и g(y) = -4((x^2)y + y).
Вторым шагом является нахождение неопределенных интегралов обеих частей уравнения. То есть интегрируем выражение f(x)dx по переменной х и g(y)dy по переменной у:
∫sqrt(5+y^2)dx = ∫-4((x^2)y + y)dy
Для упрощения интеграла ∫sqrt(5+y^2)dx, сделаем замену переменных: пусть 5+y^2 = z^2. Тогда y^2 = z^2 - 5 и 2ydy = 2zdz.
Третий шаг заключается в интегрировании обеих частей уравнения. Интеграл ∫|z|dx зависит от знака |z|. Рассмотрим два случая:
1. Если z ≥ 0, то |z| = z:
∫zdx = ∫(-4(x^2)(z^2 - 5) - 4(z^2 - 5))dz
xz - C = -4(z^2)(x^2 - 5x - 1)/3 - 4z^2 - 20z + C
2. Если z < 0, то |z| = -z:
∫-zdx = ∫(-4(x^2)(z^2 - 5) - 4(z^2 - 5))dz
-xz - C = -4(z^2)(x^2 - 5x - 1)/3 - 4z^2 - 20z + C
Теперь мы получили два выражения, которые описывают функцию z в зависимости от переменныx x.
Четвертый шаг - найти конкретное решение дифференциального уравнения. Для этого необходимо применить начальное условие. Пусть, например, когда x = 0, y = -3.
Мы можем подставить эти значения в одно из двух уравнений и найти соответствующие значения z и C. Давайте воспользуемся первым уравнением, где z ≥ 0:
0*(-3) - C = -4((-3)^2)(0^2 - 5*0 - 1)/3 - 4*(-3)^2 - 20*(-3) + C
0 + C = -4(9)(0 - 1)/3 - 4*9 - 20*(-3) + C
C = -12 + 36 - 60 + C
12 = C
Таким образом, значение C равно 12.
Наше конкретное решение выглядит так:
1. Если z ≥ 0:
xz - 12 = -4(z^2)(x^2 - 5x - 1)/3 - 4z^2 - 20z + 12
2. Если z < 0:
-xz - 12 = -4(z^2)(x^2 - 5x - 1)/3 - 4z^2 - 20z + 12
Надеюсь, эта подробная процедура поможет школьнику лучше понять, как найти общее решение данного дифференциального уравнения.
Первым шагом является разделение переменных, то есть перемещение всех выражений, содержащих х, в одну сторону уравнения, а всех выражений, содержащих y, в другую сторону. Для этого вычтем dx из обоих частей уравнения и разделим оба слагаемых на sqrt(5+y^2):
sqrt(5+y^2)dx = -4((x^2)y + y)dy
Теперь у нас есть уравнение вида f(x)dx = g(y)dy, где f(x) = sqrt(5+y^2) и g(y) = -4((x^2)y + y).
Вторым шагом является нахождение неопределенных интегралов обеих частей уравнения. То есть интегрируем выражение f(x)dx по переменной х и g(y)dy по переменной у:
∫sqrt(5+y^2)dx = ∫-4((x^2)y + y)dy
Для упрощения интеграла ∫sqrt(5+y^2)dx, сделаем замену переменных: пусть 5+y^2 = z^2. Тогда y^2 = z^2 - 5 и 2ydy = 2zdz.
После замены переменных получим:
∫sqrt(z^2)dx = ∫-4((x^2)(z^2 - 5) + z^2 - 5)dz
∫|z|dx = ∫(-4(x^2)(z^2 - 5) - 4(z^2 - 5))dz
Третий шаг заключается в интегрировании обеих частей уравнения. Интеграл ∫|z|dx зависит от знака |z|. Рассмотрим два случая:
1. Если z ≥ 0, то |z| = z:
∫zdx = ∫(-4(x^2)(z^2 - 5) - 4(z^2 - 5))dz
xz - C = -4(z^2)(x^2 - 5x - 1)/3 - 4z^2 - 20z + C
2. Если z < 0, то |z| = -z:
∫-zdx = ∫(-4(x^2)(z^2 - 5) - 4(z^2 - 5))dz
-xz - C = -4(z^2)(x^2 - 5x - 1)/3 - 4z^2 - 20z + C
Теперь мы получили два выражения, которые описывают функцию z в зависимости от переменныx x.
Четвертый шаг - найти конкретное решение дифференциального уравнения. Для этого необходимо применить начальное условие. Пусть, например, когда x = 0, y = -3.
Мы можем подставить эти значения в одно из двух уравнений и найти соответствующие значения z и C. Давайте воспользуемся первым уравнением, где z ≥ 0:
0*(-3) - C = -4((-3)^2)(0^2 - 5*0 - 1)/3 - 4*(-3)^2 - 20*(-3) + C
0 + C = -4(9)(0 - 1)/3 - 4*9 - 20*(-3) + C
C = -12 + 36 - 60 + C
12 = C
Таким образом, значение C равно 12.
Наше конкретное решение выглядит так:
1. Если z ≥ 0:
xz - 12 = -4(z^2)(x^2 - 5x - 1)/3 - 4z^2 - 20z + 12
2. Если z < 0:
-xz - 12 = -4(z^2)(x^2 - 5x - 1)/3 - 4z^2 - 20z + 12
Надеюсь, эта подробная процедура поможет школьнику лучше понять, как найти общее решение данного дифференциального уравнения.