Предположим, что существует такой многоугольник, но длина любой его стороны в точности 1.
Рассмотрим такой многоугольник. Будем его расклеивать до тех пор, пока не получим 300 квадратов. Посчитаем общее количество расклеиваний: для этого опишем вокруг границы многоугольника "пояс". С одной стороны для расклеивания потребуется отклеить 300*4 сторон (у каждого квадрата 4 стороны), но так мы посчитаем каждое отклеивание дважды (для квадратов с общей стороной), то есть общее количество отклеиваний равно 300*4/2=600. Но отклеиваний без "пояса" меньше (так как граничные отрезки не участвуют в расклейке) - ровно на половину от суммарного количества граничных клеток - то есть на половину периметра. Итак, общее количество расклеек 600-150=450.
Значит, столько же и склеек. Теперь впишем наш многоугольник в прямоугольник (так, чтоб он был полностью в нем и каждой стороны прямоугольника касалась хотя бы одна клетка многоугольника). Будем конструировать многоугольник заново. Докажем, что количество вертикальных склеек четно по индукции. База: Рассмотрим первый столбец. Будем считать количество вертикальных склеек. В первом их нет (иначе бы было две подряд идущих клетки). Во втором столбце - на каждую клетку из первого должна приходиться клетка из второго, да еще клетки между ними - итого 2k+1 клетка, где k - кол-во клеток из первого столбца. Значит вертикальных склеек 2k+1-1=2k - четное число. База доказана. Переход: пусть в некотором столбце четное количество склеек. Тогда в каждой группе из подряд идущих клеток нечетное количество клеток. Тогда каждой такой группе сопоставляется группа из нечетного количества клеток из соседнего столбца (иначе было бы не менее 2 подряд идущих клеток), значит, в каждой такой группе четное количество склеек. Переход доказан.
Теперь докажем, что количество вертикальных и горизонтальных склеек совпадает. Пусть вертикальных В, а горизонтальных Г.
Рассмотрим склейки в столбцах.
Заметим, что на каждую вертикальную склейку требуется не менее одной горизонтальной, поэтому Г≥В. Повернем многоугольник на 90 градусов. Аналогично получим В≥Г, значит, В=Г.
Значит, всего склеек 2В, но В - четное число, значит, общее количество делится на 4, но общее кол-во равно 450, противоречие.
Имеем несколько рядов полностью с плитками и последний неполный ряд. Чтобы в последнем ряду с 7 плитками плиток было больше на 5, нужно, чтобы ряд имел 6 плиток , а в последнем ряду с 8 плитками была 1 плитка. В нашем случае 6 - 1 = 5 Пишем уравнение для рядов с 7 плитками (7*а +6), где а - количество полных рядов, 6 - это плитки в последнем ряду. Пишем уравнение для рядов с 8 плитками (8*а +1), где а - количество полных рядов, 1 - это плитка в последнем ряду. Плиток одинаковое число в обоих случаях, поэтому выравниваем 7*а +6 = 8*а +1 , решаем а = 5 - подставляем в уравнения для рядов и находим количество плиток. 7*а +6 = 7*5+6 = 41 плитка 8*а +1 = 8*5 +1 = 41 плитка ответ: после строительства дома осталась 41 плитка.
Предположим, что существует такой многоугольник, но длина любой его стороны в точности 1.
Рассмотрим такой многоугольник. Будем его расклеивать до тех пор, пока не получим 300 квадратов. Посчитаем общее количество расклеиваний: для этого опишем вокруг границы многоугольника "пояс". С одной стороны для расклеивания потребуется отклеить 300*4 сторон (у каждого квадрата 4 стороны), но так мы посчитаем каждое отклеивание дважды (для квадратов с общей стороной), то есть общее количество отклеиваний равно 300*4/2=600. Но отклеиваний без "пояса" меньше (так как граничные отрезки не участвуют в расклейке) - ровно на половину от суммарного количества граничных клеток - то есть на половину периметра. Итак, общее количество расклеек 600-150=450.
Значит, столько же и склеек. Теперь впишем наш многоугольник в прямоугольник (так, чтоб он был полностью в нем и каждой стороны прямоугольника касалась хотя бы одна клетка многоугольника). Будем конструировать многоугольник заново. Докажем, что количество вертикальных склеек четно по индукции. База: Рассмотрим первый столбец. Будем считать количество вертикальных склеек. В первом их нет (иначе бы было две подряд идущих клетки). Во втором столбце - на каждую клетку из первого должна приходиться клетка из второго, да еще клетки между ними - итого 2k+1 клетка, где k - кол-во клеток из первого столбца. Значит вертикальных склеек 2k+1-1=2k - четное число. База доказана. Переход: пусть в некотором столбце четное количество склеек. Тогда в каждой группе из подряд идущих клеток нечетное количество клеток. Тогда каждой такой группе сопоставляется группа из нечетного количества клеток из соседнего столбца (иначе было бы не менее 2 подряд идущих клеток), значит, в каждой такой группе четное количество склеек. Переход доказан.
Теперь докажем, что количество вертикальных и горизонтальных склеек совпадает. Пусть вертикальных В, а горизонтальных Г.
Рассмотрим склейки в столбцах.
Заметим, что на каждую вертикальную склейку требуется не менее одной горизонтальной, поэтому Г≥В. Повернем многоугольник на 90 градусов. Аналогично получим В≥Г, значит, В=Г.
Значит, всего склеек 2В, но В - четное число, значит, общее количество делится на 4, но общее кол-во равно 450, противоречие.
Пишем уравнение для рядов с 7 плитками (7*а +6), где а - количество полных рядов, 6 - это плитки в последнем ряду.
Пишем уравнение для рядов с 8 плитками (8*а +1), где а - количество полных рядов, 1 - это плитка в последнем ряду.
Плиток одинаковое число в обоих случаях, поэтому выравниваем
7*а +6 = 8*а +1 , решаем
а = 5 - подставляем в уравнения для рядов и находим количество плиток.
7*а +6 = 7*5+6 = 41 плитка
8*а +1 = 8*5 +1 = 41 плитка
ответ: после строительства дома осталась 41 плитка.