Войти Регистрация Спроси ai-bota

, найти предел последовательности при n, стремящемся к бесконечности

, найти предел последовательности при n, стремящемся к бесконечности

Показать ответ

Ответ:

aliona123456789

15.02.2022 14:19

Будем пользоваться непрерывностью косинуса, тем самым обосновывая справедливость внесения знака предела под аргумент.

$n^{5/6}\pi\dfrac{\sqrt[3]{n^2-1}-\sqrt[3]{n^2} }{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} = n^{5/6}\pi\dfrac{\left((n-1)^{1/3}(n+1)^{1/3}-n^{2/3}\right)\left((n+1)^{1/2}+n^{1/2}\right)}{1}$ , это получилось умножением числителя и знаменателя на сопряженное. Раскрываем скобки: $n^{5/6}\pi\left((n-1)^{1/3}(n+1)^{5/6}-n^{2/3}(n+1)^{1/2}+n^{1/2}(n-1)^{1/3}(n+1)^{1/3}-n^{7/6}\right)$ . Вынесем $n^{7/6}$ : $n^{2}\pi\left(\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{1/3}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{5/6}-\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{1/2}+\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{1/3}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{1/3}-1\right)$ . Разложим каждую скобку по формуле Тейлора в окрестности с точностью до квадратичных членов: $n^2\pi\left(1-\dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{9n^2}+o(1/n^2)\right)\left(1+\dfrac{5}{6n}-\dfrac{5}{72n^2}+o(1/n^2)\right)-\\-n^2\pi\left(1+\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{8n^2}+o(1/n^2)\right)+\\+n^2\pi\left(1-\dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{9n^2}+o(1/n^2)\right) \left(1+\dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{9n^2}+o(1/n^2)\right) - n^2\pi$

После раскрытия скобок получим $-n^2\pi\dfrac{2}{3n^2}+o(1) \Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\left [-n^2\pi\dfrac{2}{3n^2}+o(1)\right] = -\dfrac{2\pi}{3}$ . Значит, $\lim\limits_{n\to\infty }x_{n} = \cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$ .

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

imputedchimi

01.05.2022 02:21

Найти значение выражения одна вторая плюс скобки открываются 5 целых одна шестая минус три целых три четвертых плюс одна вторая скобка закрывается умножить на 10 /23...

milkdkdlol

01.05.2022 02:21

От 101 до 200 числа которые делятся на 41...

natka012

21.10.2020 20:58

810÷с=3×30 , сделать всё по порядку,правильно! !...

zhenyaermakov

21.10.2020 20:58

Всаду растут яблони груши и сливы . яблони составляют 7/16 всех деревьев , груши 8/15 остальных деревьев , а слив 42 дерева . сколько всего деревьев в саду ?...

АлисаЛостек2507

21.10.2020 20:58

Написати твiр айвенго на украинськи мовi на 20 печень...

nastya30071

21.10.2020 20:58

Навколо поляни стоять 12 будинків, пофарбовані в білий та червоний кольори. у них поселилися 12 гномів. кожен гном має непарну кількість друзів. у січні перший гном фарбує...

alikhan12

25.09.2021 19:45

Когда выяснилось, что на школьную пьесу продано на 150 билетов больше чем вмещается человек в аудиторию, было решено провести пьесу два раза. общее количество билетов...

surok0902p01m1w

10.09.2020 03:16

3b=-10 не надо объяснять просто решите 100 ! ...

bomixov

31.03.2023 13:40

Бірінші автокөліккте екіншіге қарағанда 0,6 т бидай артық тиелді. егер бірінші көлікке 1,2 есе, екіншіге 1,4 есе артық бидай тиелсе, онда екі көліктегі жүк бірдей болады....

Nagornjk

13.05.2020 13:22

Число 12 двузначное и четырёхзначное. число 27 делится на 9 и больше 30 . сумма 36 и 14 больше 40. а разность разность 80 15 .меньше разность 80 25 .14 и 25 четырёхзначное...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку