Чтобы найти предел данного выражения, необходимо пошагово провести исследование и использовать соответствующие свойства арифметики и пределов функций.
В данном случае имеется предел функции, состоящей из двух слагаемых - числителя и знаменателя.
1. Сначала рассмотрим числитель:
a) Сокращаем общий множитель. Для удобства представим числитель в виде произведения двух множителей:
(x + 4)(x - 5)
b) Применим свойство арифметики к разности квадратов:
(x + 4)(x - 5) = x^2 - 5x + 4x - 20 = x^2 - x - 20
2. Затем рассмотрим знаменатель:
a) Выделим общий множитель:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
3. Теперь можем записать исходное выражение в виде отношения двух функций:
f(x) = (x^2 - x - 20) / (x^2 - 9)
4. Для нахождения предела данного выражения используем правило Лопиталя, так как в числителе и знаменателе присутствуют полиномы с одинаковой степенью:
a) Находим производные числителя и знаменателя:
f'(x) = (2x - 1) / (2x)
g'(x) = (2x)
b) Заменяем исходное выражение на предел отношения производных:
lim(x->∞) (x^2 - x - 20) / (x^2 - 9) = lim(x->∞) (f'(x) / g'(x))
5. Вычисляем предел отношения производных:
a) Подставляем бесконечность в производные:
lim(x->∞) (2x - 1) / (2x) = lim(x->∞) 2 - 1/x = 2 - 0 = 2
6. Таким образом, предел данной функции равен 2.
Ответ: lim(x->∞) (x^2 - x - 20) / (x^2 - 9) = 2.
Обоснование:
Мы применили правило Лопиталя, которое позволяет найти предел отношения двух функций, если они оба стремятся к бесконечности или к 0. В нашем случае, оба числитель и знаменатель стремятся к бесконечности при x, стремящемся к бесконечности, и мы получаем конечное число 2.
В данном случае имеется предел функции, состоящей из двух слагаемых - числителя и знаменателя.
1. Сначала рассмотрим числитель:
a) Сокращаем общий множитель. Для удобства представим числитель в виде произведения двух множителей:
(x + 4)(x - 5)
b) Применим свойство арифметики к разности квадратов:
(x + 4)(x - 5) = x^2 - 5x + 4x - 20 = x^2 - x - 20
2. Затем рассмотрим знаменатель:
a) Выделим общий множитель:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
3. Теперь можем записать исходное выражение в виде отношения двух функций:
f(x) = (x^2 - x - 20) / (x^2 - 9)
4. Для нахождения предела данного выражения используем правило Лопиталя, так как в числителе и знаменателе присутствуют полиномы с одинаковой степенью:
a) Находим производные числителя и знаменателя:
f'(x) = (2x - 1) / (2x)
g'(x) = (2x)
b) Заменяем исходное выражение на предел отношения производных:
lim(x->∞) (x^2 - x - 20) / (x^2 - 9) = lim(x->∞) (f'(x) / g'(x))
5. Вычисляем предел отношения производных:
a) Подставляем бесконечность в производные:
lim(x->∞) (2x - 1) / (2x) = lim(x->∞) 2 - 1/x = 2 - 0 = 2
6. Таким образом, предел данной функции равен 2.
Ответ: lim(x->∞) (x^2 - x - 20) / (x^2 - 9) = 2.
Обоснование:
Мы применили правило Лопиталя, которое позволяет найти предел отношения двух функций, если они оба стремятся к бесконечности или к 0. В нашем случае, оба числитель и знаменатель стремятся к бесконечности при x, стремящемся к бесконечности, и мы получаем конечное число 2.