1) Найти область определения функции; Ограничений нет - х ∈ R. 2) Исследовать функцию на непрерывность; Непрерывна, так как нет точек разрыва функции. 3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной; f(-x) = 6/((-x)² + 3) = 6/(x² +3) = f(x). Функция чётная. 4) Найти интервалы функции и точки её экстремума ; Находим производную функции. y' = -12x/(x² + 3)². Приравняв её нулю (достаточно только числитель), имеем 1 корень: х = 0. Имеем 2 промежутка (-∞; 0) и (0; ∞). Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума. x = -1 0 1 y' = 0,75 0 -0,75. Отсюда получаем: Функция возрастает на промежутке (-∞; 0) и убывает на промежутке (0; ∞). Экстремум только один - это максимум в точке х = 0. 5) Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции; Находим вторую производную. y'' = 36(x² - 1)/(x² + 3)³. Приравняв нулю, имеем 2 точки перегиба х = 1 и х = -1. 6) Найти асимптоты графика функции. Асимптота есть одна у = 0 (ось Ох). График функции, таблица точек для его построения приведены в приложении.
a) Дан отрезок с концами A(-3;-2) и B(9;6). Найти координаты точки С, делящей АВ в отношении 3:1. Находим разность координат: Δх = 9-(-3) = 12, Δу = 6-(-2) = 8. Координаты точки С равны координатам точки А плюс доля приращения λ =3/(3+1) = 3/4. х(С) = -3 + 12*(3/4) = -3 + 9 = 6. у(С) = -2 + 8*(3/4) = -2 + 6 = 4.
Можно использовать формулу: х(С) =( х(А)+ λ*х(В))/(1+λ), для у аналогично. Здесь λ - коэффициент, равный отношению (у нас это 3:1 = 3). х(С) = (-3+3*9)/(1+3) = 24/4 = 6, у(С) = (-2+3*6)/(1+3) = 16/4 = 4.
1) Найти область определения функции;
Ограничений нет - х ∈ R.
2) Исследовать функцию на непрерывность;
Непрерывна, так как нет точек разрыва функции.
3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной;
f(-x) = 6/((-x)² + 3) = 6/(x² +3) = f(x). Функция чётная.
4) Найти интервалы функции и точки её экстремума ;
Находим производную функции.
y' = -12x/(x² + 3)².
Приравняв её нулю (достаточно только числитель), имеем 1 корень:
х = 0.
Имеем 2 промежутка (-∞; 0) и (0; ∞).
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -1 0 1
y' = 0,75 0 -0,75.
Отсюда получаем:
Функция возрастает на промежутке (-∞; 0) и убывает на промежутке (0; ∞).
Экстремум только один - это максимум в точке х = 0.
5) Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции;
Находим вторую производную.
y'' = 36(x² - 1)/(x² + 3)³.
Приравняв нулю, имеем 2 точки перегиба х = 1 и х = -1.
6) Найти асимптоты графика функции.
Асимптота есть одна у = 0 (ось Ох).
График функции, таблица точек для его построения приведены в приложении.
Найти координаты точки С, делящей АВ в отношении 3:1.
Находим разность координат:
Δх = 9-(-3) = 12,
Δу = 6-(-2) = 8.
Координаты точки С равны координатам точки А плюс доля приращения λ =3/(3+1) = 3/4.
х(С) = -3 + 12*(3/4) = -3 + 9 = 6.
у(С) = -2 + 8*(3/4) = -2 + 6 = 4.
Можно использовать формулу:
х(С) =( х(А)+ λ*х(В))/(1+λ), для у аналогично.
Здесь λ - коэффициент, равный отношению (у нас это 3:1 = 3).
х(С) = (-3+3*9)/(1+3) = 24/4 = 6,
у(С) = (-2+3*6)/(1+3) = 16/4 = 4.