Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда

Показать ответ

Ответ:

Катти16

11.10.2020 23:50

$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(x+1)^{2n}}{9}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{(x+1)^{2n}}{9}}=(x+1)^2$

Ряд сходится при (x+1)^2|x+1| и при (x+1)^21 расходится по признаку Коши.

Тогда радиус сходимости равен 1, а интервал получим из неравенства $|x+1|x\in(-2;0)$

ответ: 1; (-2;0)

____________________________

Степенной ряд имеет вид $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(x+1)^{2n}}{9}=0*(x+1)^1+\dfrac{1}{9}(x+1)^2+0*(x+1)^3+\dfrac{1}{9}(x+1)^4+...$

Тогда последовательность коэффициентов степенного ряда разбивается на 2 подпоследовательности: $c_k=0,\; k=2n-1; c_k=\dfrac{1}{9},\; k=2n$

Тогда используем формулу Коши-Адамара:

$\dfrac{1}{R}=\overline{\lim\limits_{k\to\infty}}\sqrt[n]{|c_k|}=\max\{0, \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[2n]{\dfrac{1}{9}}\}=1=R=1=x\in(-2;0)$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Keenio

06.02.2022 21:15

irinakarimova2

06.02.2022 21:15

ТашаФедоренко

06.02.2022 21:15

даниил740

06.02.2022 21:15

Как найти модуль? пример: /x/+4=3...

sofi200703

06.02.2022 21:15

GoriachiyKirill

06.02.2022 21:15

прост1232

06.02.2022 21:15

Camilla007

06.02.2022 21:15

rud5001

06.02.2022 21:15

mansurislamov

06.02.2022 21:15

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку