Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти сумму без использования индукции: 12 + 23*x+34x^2+ 45x^3+

Показать ответ

Ответ:

Ксюха12111

13.06.2020 03:18

$1*2 + 2*3x+3*4x^2+ 4*5x^3+... = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+2)x^{n}$

Это степенной ряд, найдём его радиус сходимости.

Согласно признаку Даламбера.

$R = lim_{n - +\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|= lim_{n - +\infty}|\frac{(n+1)(n+2)}{(n+2)(n+3)}| =\\\\ lim_{n - +\infty}|\frac{(n+1)}{(n+3)}| =lim_{n - +\infty}|1 - \frac{2}{n+3}| = 1$

Так как радиус сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+2)x^{n} (*)$ равен 1, то при |x| >1, ряд расходится.

Проверим сходимость в точках x = 1 и x = -1.

При x = 1, ряд (*) — расходится (так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда).

При x = -1, ряд (*) – расходится (так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда).

Ряд сходится при |x| < 1.

$S_n = 1*2 + 2*3*x+...+n*(n+1)x^{n-1}\\\\ 1*2 + 2*3*x+...+n*(n+1)x^{n-1} =\\\\ (2x+3x^2+4x^3+5x^4+ ... + (n+1)x^{n})' = \\\\(x^2+x^3+x^4+x^5+ ... + x^{n+1})'' =\\\\ (x^2(1+x+x^2+x^3+ ... + x^{n-1}))''$

$1+x+x^2+x^3+ ... + x^{n-1} + ...$ - разложение в ряд Маклорена функции $\frac{1}{1-x}$

См. дальнейшее решение во вложении.

$1*2 + 2*3*x+...+n*(n+1)x^{n-1} + ... = \frac{2}{(1-x)^3}$ при |x| < 1

Найти сумму без использования индукции: 1*2 + 2*3*x+3*4*x^2+ 4*5*x^3+

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Angel0464118

18.08.2021 06:19

(3.2) Скалярное произведение двух векторов Эта же задача продублирована у меня в профиле, если хотите заработать больше за решение этой же задачи....

harushina

13.07.2020 06:40

10 относится к 4 так же как 8 относится к 10 относится к 4 так же как 7 относится к...

Екатерина13250804

16.10.2021 18:21

(3.1) Скалярное произведение двух векторов...

ЛилияСадыкова555

27.09.2022 06:53

X-3y-15=0 нужно вычислить площадь треугольника, который отсекает от координатного угла...

pro100rak2

05.01.2021 12:41

Решите уравнение х/х+2-4/х²+2х...

7846854542

11.06.2020 21:07

(3.2) Скалярное произведение двух векторов Эта же задача продублирована у меня в профиле, если хотите заработать больше за решение этой же задачи....

krasotka505050

04.09.2021 02:45

(3.2) Скалярное произведение двух векторов Эта же задача продублирована у меня в профиле, если хотите заработать больше за решение этой же задачи....

farsama

12.06.2020 04:45

Найди правило нахождения числа в средней клетке первой строки а) 15, 41, 2619, ?, 12б) 19, 18, 3717, ? 46в) 51, 3, 1757, ?, 19...

pro63

26.06.2022 08:14

Многочлены P(x) и S(x) равны. Найди коэффициенты переменных и заполни пропуски. S(x) =x4 – 3x2 +x –P(x) = x3 –x2 – 4 + 7x4 + 2xНазадПроверить...

FlowerBlue17

14.01.2022 13:44

Записать первые пять чисел кратных чисел 8...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку