Теперь, когда у нас есть точка на прямой M(16/25, -5, 37/50) и вектор нормали плоскости A(1, 2, 3), мы можем использовать формулу для вычисления угла между векторами:
cos(theta) = (A · M) / (||A|| * ||M||),
где A · M - скалярное произведение векторов A и M,
||A|| - длина вектора A,
||M|| - длина вектора M.
Нам нужно найти угол между прямой и плоскостью. Для начала, давайте выразим уравнение прямой в параметрической форме.
Уравнение прямой задано следующим образом: x-1/2=y+5/-1=z-3/5. Давайте приведем его к более удобному виду.
x - 1/2 = -y - 5 = z - 3/5
Мы можем записать это уравнение в виде:
x = 1/2 - y
y = -5
z = 3/5 - z
Теперь у нас есть параметрическое уравнение прямой:
x = 1/2 - t
y = -5
z = 3/5 - t
Теперь давайте подставим эти выражения в уравнение плоскости x + 2y + 3z + 8 = 0 и найдем значение параметра t.
(1/2 - t) + 2(-5) + 3(3/5 - t) + 8 = 0
Упростив уравнение, мы получим:
1/2 - t - 10 + 9/5 - 3t + 8 = 0
Объединяя подобные элементы, мы получим:
-5t - 1/2 + 9/5 + 8 - 10 = 0
-5t - 1/2 + 9/5 - 2 = 0
Общий знаменатель равен 10, поэтому:
-5t - 5/10 + 18/10 - 20/10 = 0
И чистым, мы получаем:
-5t - 7/10 = 0
Избавимся от отрицательного коэффициента:
5t + 7/10 = 0
Теперь избавимся от дробей:
50t + 7 = 0
50t = -7
t = -7/50
Теперь, когда у нас есть значение параметра t, мы можем найти координаты точки M на прямой.
x = 1/2 - (-7/50) = 1/2 + 7/50 = 25/50 + 7/50 = 32/50 = 16/25
y = -5
z = 3/5 - (-7/50) = 3/5 + 7/50 = 30/50 + 7/50 = 37/50
Тогда координаты точки M равны (16/25, -5, 37/50).
Теперь нам нужно найти вектор нормали плоскости. Воспользуемся коэффициентами при x, y и z в уравнении плоскости x+2y+3z+8=0.
Вектор нормали плоскости A(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3).
Теперь, когда у нас есть точка на прямой M(16/25, -5, 37/50) и вектор нормали плоскости A(1, 2, 3), мы можем использовать формулу для вычисления угла между векторами:
cos(theta) = (A · M) / (||A|| * ||M||),
где A · M - скалярное произведение векторов A и M,
||A|| - длина вектора A,
||M|| - длина вектора M.
Сначала найдем скалярное произведение A · M:
A · M = (1 * 16/25) + (2 * -5) + (3 * 37/50)
= 16/25 - 10 + 111/50
= 32/50 - 50/50 + 111/50
= 93/50
Теперь найдем длину векторов A и M:
||A|| = √(1^2 + 2^2 + 3^2) = √(1 + 4 + 9) = √14
||M|| = √((16/25)^2 + (-5)^2 + (37/50)^2) = √(256/625 + 25 + 1369/2500)
= √(512/1250 + 6250/1250 + 1369/2500)
= √(7107/1250) = √(56856/10000) = √(14214/2500)
Теперь подставим все значения в формулу для нахождения cos(theta):
cos(theta) = (93/50) / (√14 * √(14214/2500))
= (93/50) / (√(14 * 14214/2500))
= (93/50) / (√(99696/2500))
= (93/50) / (√(39.8784))
= (93/50) / (6.316)
≈ 0.294
Теперь нам нужно найти сам угол theta. Можно использовать обратную функцию косинуса (arccos):
theta = arccos(0.294)
≈ 73.84°
Таким образом, угол между прямой x-1/2=y+5/-1=z-3/5 и плоскостью x+2y+3z+8=0 примерно равен 73.84°.