Пусть 3^x=t,3
x
=t, t > 0,t>0, \sqrt{t^2-5a}=t-a.√
t
2
−5a
=t−a.
При t-a < 0t−a<0 правая часть уравнения отрицательная, а левая — неотрицательная, поэтому уравнение при t < at<a решений не имеет.
При t-a \geq 0t−a≥0 получаем t^2-5a=t^2-2at+a^2t
−5a=t
−2at+a
, 2at=a^2+5a2at=a
+5a.
При a=0\;a=0 2 \cdot 0 \cdot t =02⋅0⋅t=0 — любое положительное значение t является корнем уравнения, что противоречит условию единственности корня.
При a \neq 0\;a≠0 \displaystyle t=\frac{a+5}{2}t=
a+5
. Для этого корня должны выполняться условия t \geq at≥a и t > 0t>0.
Условие \displaystyle \frac{a+5}{2} \geq a
≥a выполняется при a \leq 5a≤5.
Условие \displaystyle \frac{a+5}{2} > 0
>0 выполняется при a > -5a>−5.
Исходное уравнение имеет единственный корень при -5 < a < 0−5<a<0 и 0 < a \leq50<a≤5.
ответ
(-5;0)\cup (0;5](−5;0)∪(0;5]
Пусть 3^x=t,3
x
=t, t > 0,t>0, \sqrt{t^2-5a}=t-a.√
t
2
−5a
=t−a.
При t-a < 0t−a<0 правая часть уравнения отрицательная, а левая — неотрицательная, поэтому уравнение при t < at<a решений не имеет.
При t-a \geq 0t−a≥0 получаем t^2-5a=t^2-2at+a^2t
2
−5a=t
2
−2at+a
2
, 2at=a^2+5a2at=a
2
+5a.
При a=0\;a=0 2 \cdot 0 \cdot t =02⋅0⋅t=0 — любое положительное значение t является корнем уравнения, что противоречит условию единственности корня.
При a \neq 0\;a≠0 \displaystyle t=\frac{a+5}{2}t=
2
a+5
. Для этого корня должны выполняться условия t \geq at≥a и t > 0t>0.
Условие \displaystyle \frac{a+5}{2} \geq a
2
a+5
≥a выполняется при a \leq 5a≤5.
Условие \displaystyle \frac{a+5}{2} > 0
2
a+5
>0 выполняется при a > -5a>−5.
Исходное уравнение имеет единственный корень при -5 < a < 0−5<a<0 и 0 < a \leq50<a≤5.
ответ
(-5;0)\cup (0;5](−5;0)∪(0;5]