НАЙТИ ВСЕ ЛОРЕНОВЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СТЕПЕНЯМ Z-Z0

А) x*y' - 2y = x^3 + x
Уравнение неоднородное 1 порядка.
Замена y = u*v, y' = u'*v + u*v'
x*u'*v + x*u*v' - 2u*v = x^3 + x
x*u'*v + u*(x*v' - 2v) = x^3 + x
Скобку приравниваем к 0
x*v' - 2v = 0
x*dv/dx = 2v
dv/v = 2dx/x
ln v = 2ln x = ln(x^2)
v = x^2
Подставляем в уравнение
x*u'*x^2 + u*0 = x^3 + x
u'*x^3 = x^3 + x
u' = 1 + 1/x^2
Решаем интегрированием
u = x - 1/x + C
Обратная замена
y = u*v = (x - 1/x + C)*x^2 = x^3 + Cx^2 - x

б) y'' - 12y' + 36y = 14e^(6x)
Неоднородное уравнение 2 порядка
y = y0 + y* (решение однородного + частное решение неоднородного)
Однородное
y'' - 12y' + 36y = 0
Характеристическое уравнение
k^2 - 12k + 36 = 0
(k - 6)^2 = 0
k1 = k2 = 6
y0 = (C1 + C2*x)*e^(6x)
Находим частное решение неоднородного уравнения
Степень е равна 6x, 6 - кратный корень характеристического уравнения
y* = Ax^2*e^(6x) (A - это неизвестный коэффициент)
y*' = A(2x*e^(6x) + x^2*6e^(6x)) = A(2x + 6x^2)*e^(6x)
y*'' = A[(2 + 12x)*e^(6x) + (2x + 6x^2)*6e^(6x)] =
= A(2 + 12x + 12x + 36x^2)*e^(6x)
Подставляем в уравнение
A(2+24x+36x^2)*e^(6x) - 12A(2x+6x^2)*e^(6x) + 36Ax^2*e^(6x) = 14e^(6x)
Сокращаем e^(6x)
A(2 + 24x + 36x^2) - 12A(2x + 6x^2) + 36Ax^2 = 14
Раскрываем скобки
2A + 24Ax + 36Ax^2 - 24Ax - 72Ax^2 + 36Ax^2 = 14
2A = 14
A = 7
y* = 7x^2*e^(6x)
Окончательный ответ
y = y0 + y* = (C1 + C2*x)*e^(6x) + 7x^2*e^(6x)

13,7×0,1+(16²²/₂₅×0,5-1⁶¹/₇₂×2)+19,89÷4¹/₄=10¹⁷⁹/₂₂₅
1) 16²²/₂₅×0,5=16,88×0,5=8,44
2) 1⁶¹/₇₂×2=¹³³/₇₂ײ/₁=¹³³ˣ²/₇₂=¹³³/₃₆
3) 8,44-3²⁵/₃₆=8⁴⁴/₁₀₀-3²⁵/₃₆=8¹¹/₂₅-3²⁵/₃₆=8¹¹ˣ³⁶/₉₀₀-3²⁵ˣ²⁵/₉₀₀=8³⁹⁶/₉₀₀-3⁶²⁵/₉₀₀= 7¹²⁹⁶/₉₀₀-3⁶²⁵/₉₀₀=4¹²⁹⁶⁻⁶²⁵/₉₀₀=4⁶⁷¹/₉₀₀ (скобки)
4) 13,7×0,1=1,37
5) 19,89÷4¹/₄=19,89÷4,25=4,68
6) 1,37+4⁶⁷¹/₉₀₀ =1³⁷/₁₀₀+4⁶⁷¹/₉₀₀ =1³⁷ˣ⁹/₉₀₀+4⁶⁷¹/₉₀₀ =1³³³/₉₀₀+4⁶⁷¹/₉₀₀ = 5³³³⁺⁶⁷¹/₉₀₀=5¹⁰⁰⁴/₉₀₀=6¹⁰⁴/₉₀₀
7) 6¹⁰⁴/₉₀₀+4,68=6¹⁰⁴/₉₀₀+4⁶⁸/₁₀₀=6¹⁰⁴/₉₀₀+4⁶⁸ˣ⁹/₉₀₀=6¹⁰⁴/₉₀₀+4⁶¹²/₉₀₀= 10¹⁰⁴⁺⁶¹²/₉₀₀=10⁷¹⁶/₉₀₀=10¹⁷⁹/₂₂₅