В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Х
Химия
Д
Другие предметы
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
М
Музыка
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
У
Українська література
Р
Русский язык
Ф
Французский язык
П
Психология
О
Обществознание
А
Алгебра
М
МХК
Г
География
И
Информатика
П
Право
А
Английский язык
Г
Геометрия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
plahowajana
plahowajana
31.10.2022 01:44 •  Математика

Найти все точки плоскости Сz, в которых дифференцируема функция W=f (z).


Найти все точки плоскости Сz, в которых дифференцируема функция W=f (z).

Показать ответ
Ответ:
superbogdanova
superbogdanova
25.11.2021 09:26

z\in C\backslash\{0\}

Пошаговое объяснение:

z=x+iy; x,y\in R

Подставим в функцию:

W=\dfrac{x+iy}{i}+\dfrac{i}{x+iy}=\dfrac{x}{i}+y+\dfrac{i(x-iy)}{(x+iy)(x-iy)}=-xi+y+\dfrac{ix+y}{x^2+y^2}=\\ =\underbrace{\left(y+\dfrac{y}{x^2+y^2}\right)}_{u(x,y)}+i\underbrace{\left(\dfrac{x}{x^2+y^2}-x\right)}_{v(x,y)}

Очевидно, u(x,y),v(x,y) дифференцируемы \forall x,y\in R, x^2+y^2\neq 0 .

Запишем условия Коши-Римана:

\left\{\begin{array}{c}-\dfrac{y}{(x^2+y^2)^2}\cdot2x=-\dfrac{x}{(x^2+y^2)^2}\cdot2y\\ 1+\dfrac{x^2+y^2-y\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2}=1-\dfrac{x^2+y^2-x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2}\end{array}\right.\Leftrightarrow x^2+y^2\neq 0

Т.е. условия Коши-Римана выполнены для \forall z\in C\backslash\{0\}.

Значит, функция W(z) дифференцируема в \forall z\in C\backslash\{0\}.

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота