Найти значение n, при котором 4 точки А(2;-1;3), В(n;1;1), С(2;1;0), D(-1;-1;1) лежат в одной плоскости

Даны 4 точки А(2;-1;3), В(n;1;1), С(2;1;0), D(-1;-1;1).

Определяем уравнение плоскости по трём точкам с известными координатами: А(2;-1;3), С(2;1;0), D(-1;-1;1).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

xD - xA yD - yA zD - zA     = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 2          y - (-1)           z - 3

2 - 2          1 - (-1)           0 - 3

(-1) - 2       (-1) - (-1)          1 - 3     = 0.

x - 2         y - (-1)          z - 3

0               2                -3

-3               0                -2     = 0.

(x - 2)  (2·(-2)-(-3)·0)  -  (y - (-1))(0·(-2)-(-3)·(-3))  +  (z - 3)  (0·0-2·(-3))  = 0.

(-4) (x - 2)  + 9 (y - (-1))  + 6 (z - 3)  = 0.

 - 4x + 9y + 6z - 1 = 0.

Подставим в полученное уравнение координаты точки В.

-4n + 9*1 + 6*1 - 1 = 0,

-4n = -14,

ответ: n = -14/(-4) = 7/2 = 3,5.