Назовем число суммируемым, если оно представимо в виде суммы восьми различных натуральных чисел, причем единственным (с точностью до перестановки слагаемых) образом. найдите все суммируемые числа и докажите, что других нет.
Сначала докажем, что если число N является суммируемым, то в эту сумму входит каждое из чисел 1, 2, 3, ..., 7. Пусть это не так, тогда рассмотрим наименьшее число k, не входящее в эту сумму, где k ≤ 7. Покажем, что в этом случае сумма содержит как минимум два числа, больших k. Если бы это было не так, то все числа, кроме одного, были бы не больше 7, и при этом в сумму не входило бы одно из чисел 1, 2, 3, ..., 7, т.е. в сумме было бы как минимум два одинаковых числа, что невозможно.
Обозначим через a наименьшее из чисел, больших k, а через b самое большое число суммы. Как показано выше, числа a и b не совпадают, т.е. a < b. Заметим, что числа a-1 и b+1 в сумму не входят, поскольку имеет место равенство a - 1 ≥ k, но по предположению число a является наименьшим из чисел суммы, которые больше k, а само число k в сумму не входит. Значит, мы можем заменить в сумме число a на число a-1, а число b на число b+1. В результате значение суммы не изменится, а числа в ней по-прежнему останутся различными, а значит, число N не могло быть суммируемым.
Теперь докажем, что если число N является суммируемым, то в его сумму входят все числа 1, 2, ..., 7, а также либо число 8, либо число 9. Действительно, если оставшееся число не меньше 10, то уменьшим его на единицу, а число 7 заменим на число 8. В результате получим новый набор из восьми чисел, сумма которого по-прежнему равна N.
Таким образом, если число N суммируемо, то либо в его сумму входят числа 1, 2, ..., 7, 8 (в этом случае N = 36) либо числа 1, 2, ..., 7, 9 (в этом случае N = 37). Нетрудно видеть, что в обоих случаях наборы слагаемых являются единственно возможными, так как туда должны входить все числа 1, 2, 3, ..., 7, а последнее число нельзя заменить на другое без изменения суммы.
N = 36, N = 37
Пошаговое объяснение:
Сначала докажем, что если число N является суммируемым, то в эту сумму входит каждое из чисел 1, 2, 3, ..., 7. Пусть это не так, тогда рассмотрим наименьшее число k, не входящее в эту сумму, где k ≤ 7. Покажем, что в этом случае сумма содержит как минимум два числа, больших k. Если бы это было не так, то все числа, кроме одного, были бы не больше 7, и при этом в сумму не входило бы одно из чисел 1, 2, 3, ..., 7, т.е. в сумме было бы как минимум два одинаковых числа, что невозможно.
Обозначим через a наименьшее из чисел, больших k, а через b самое большое число суммы. Как показано выше, числа a и b не совпадают, т.е. a < b. Заметим, что числа a-1 и b+1 в сумму не входят, поскольку имеет место равенство a - 1 ≥ k, но по предположению число a является наименьшим из чисел суммы, которые больше k, а само число k в сумму не входит. Значит, мы можем заменить в сумме число a на число a-1, а число b на число b+1. В результате значение суммы не изменится, а числа в ней по-прежнему останутся различными, а значит, число N не могло быть суммируемым.
Теперь докажем, что если число N является суммируемым, то в его сумму входят все числа 1, 2, ..., 7, а также либо число 8, либо число 9. Действительно, если оставшееся число не меньше 10, то уменьшим его на единицу, а число 7 заменим на число 8. В результате получим новый набор из восьми чисел, сумма которого по-прежнему равна N.
Таким образом, если число N суммируемо, то либо в его сумму входят числа 1, 2, ..., 7, 8 (в этом случае N = 36) либо числа 1, 2, ..., 7, 9 (в этом случае N = 37). Нетрудно видеть, что в обоих случаях наборы слагаемых являются единственно возможными, так как туда должны входить все числа 1, 2, 3, ..., 7, а последнее число нельзя заменить на другое без изменения суммы.