Назовём натуральное число k олимпиадным, если у него есть два раз- личных натуральных делителя a и b на одинаковом расстоянии от числа k/3 (то есть |a−k/3| = |b−k/3|). сколько существует олимпиадных чисел, не превосходящих 2018?

Показать ответ

Ответ:

DanilVenstor

27.08.2020 13:28

Расположим делители числа k в порядке возрастания (естественно, если такие делители существуют).

$\boldsymbol{1;~2;~3;~4;~5;...~\dfrac k5;~\dfrac k4;~\dfrac k3;~\dfrac k2;~k}$

Пусть a < b.

Так как различные натуральные делители a и b расположены на одинаковом расстоянии от числа k/3, то расположены они по разные стороны от числа k/3

На числовой оси правее числа k/3 ( то есть больше числа k/3) расположены только два делителя : само число k и k/2.

b = k не подходит по условию, так как делитель a тогда отрицательный

$a = \dfrac k3-\bigg(b-\dfrac k3\bigg)=\dfrac k3-b+\dfrac k3=\dfrac {2k}3-k=-\dfrac k3$

Остаётся единственный вариант $\boldsymbol{b=\dfrac k2}$

$\bigg|b-\dfrac k3\bigg|=b-\dfrac k3=\dfrac k2-\dfrac k3=\dfrac k6\\\\\bigg|a-\dfrac k3\bigg|=\dfrac k3-a=\dfrac k6\\\\a=\dfrac k3-\dfrac k6;~~\Rightarrow~~\boldsymbol{a=\dfrac k6}$

Так как у делителей $\boldsymbol{b=\dfrac k2;~a=\dfrac k6}$ общий знаменатель равен 6, то олимпиадными будут все числа, кратные 6. Тогда олимпиадных чисел, не превосходящих 2018:

2018 : 6 = 336,(3) - 336 чисел

Проверка :

k=6; b=3; a=1; |1-2|=|3-2| =1

k=12; b=6; a=2; |2-4|=|6-4| =2

k=18; b=9; a=3; |3-6|=|9-6| =3 ...

$k=2016;~~~\dfrac k3=672;~~~b=\dfrac k2=1008;~~~a=\dfrac k6=336\\\bigg|a-\dfrac k3\bigg|=\Big|336-672\Big|=336=\bigg|b-\dfrac k3\bigg|=\Big|1008-672\Big|=336$