Отсюда O1D = 2 R /3 − R /2 = R /6 . Так как АD = ½ AC = R √3 /2, то
ответ. R √7/3
1.2. B треугольнике AOB (рис. P.1.2) известны: ∠ BAO = α/2 , ∠ AOB = α/2 + π/2, BO = m· По теореме синусов находим AB = m ctg α/2· Теперь можно найти AC и R = ВО1:
AC = 2AD = 2АВ sin (π/2 − α) = 2АВ cos α = 2m ctg α/2 cos α,
ответ.
1.3. Условие задачи может быть геометрически осуществлено в двух случаях (рис. Р.1.3, а), т. е. когда треугольник либо правильный, либо равнобедренный тупоугольный (докажите). Решить эту задачу можно сразу для обоих случаев. На рис. Р.1.3, б изображены треугольник ABC и треугольник А1В1С1, составленные из средних линий первого треугольника. Треугольник А1В1С1 подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия половина. Следовательно, радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, относятся как один к двум.
1.4. Если сторона а треугольника ABC биссектрисой АА1 разделена на отрезки а1 и а2, то можно записать следующие соотношения (рис Р. 1.4.):
Решая эту систему уравнений относительно a1 и а2, получим
Вычислим аналогично отрезки, на которые разделены стороны b и с треугольника ABC:
Так как отношение площадей треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, между которыми лежит этот общий угол, то
Аналогично находим
Теперь найдем отношение
ответ.
1.5. Выразим площадь треугольника ABC через радиус r вписанной окружности и углы А, B и С треугольника.
Ставим начальную точку в тетрадке в клеточку, затем просто следуем указаниям, после которых обязательно ставим точку. Рассмотрим нашу фигуру. Если провести пунктиром линию (как на моем рисунке), то получатся два прямоугольника. С линейки измеряем стороны (1) и (2) прямоугольников.
Измерим периметр (сумму длин всех сторон) фигуры. (Я измерял в клетках) 1) 6+4+1+6+8+6+1+4=36 клеточек. Раз все в 100 раз больше, следовательно, и периметр фигуры в 100 раз больше. 36*100=3600.
2) Чтобы измерить площадь большой фигуры, нужно сложить площадь первой и второй. Площадь первой=6*4=24. А площадь второй = 6*8=48. 24+48=72. Если все стороны увеличили в 100 раз, значит, площадь увеличили в 100*100=10000 раз. 72*10000=72000.
DD1 = R /2.
Отсюда O1D = 2 R /3 − R /2 = R /6 . Так как АD = ½ AC = R √3 /2, то
ответ. R √7/3
1.2. B треугольнике AOB (рис. P.1.2) известны: ∠ BAO = α/2 , ∠ AOB = α/2 + π/2, BO = m· По теореме синусов находим AB = m ctg α/2· Теперь можно найти AC и R = ВО1:
AC = 2AD = 2АВ sin (π/2 − α) = 2АВ cos α = 2m ctg α/2 cos α,
ответ.
1.3. Условие задачи может быть геометрически осуществлено в двух случаях (рис. Р.1.3, а), т. е. когда треугольник либо правильный, либо равнобедренный тупоугольный (докажите). Решить эту задачу можно сразу для обоих случаев. На рис. Р.1.3, б изображены треугольник ABC и треугольник А1В1С1, составленные из средних линий первого треугольника. Треугольник А1В1С1 подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия половина. Следовательно, радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, относятся как один к двум.
1.4. Если сторона а треугольника ABC биссектрисой АА1 разделена на отрезки а1 и а2, то можно записать следующие соотношения (рис Р. 1.4.):
Решая эту систему уравнений относительно a1 и а2, получим
Вычислим аналогично отрезки, на которые разделены стороны b и с треугольника ABC:
Так как отношение площадей треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, между которыми лежит этот общий угол, то
Аналогично находим
Теперь найдем отношение
ответ.
1.5. Выразим площадь треугольника ABC через радиус r вписанной окружности и углы А, B и С треугольника.
Рассмотрим нашу фигуру. Если провести пунктиром линию (как на моем рисунке), то получатся два прямоугольника.
С линейки измеряем стороны (1) и (2) прямоугольников.
Измерим периметр (сумму длин всех сторон) фигуры. (Я измерял в клетках) 1) 6+4+1+6+8+6+1+4=36 клеточек. Раз все в 100 раз больше, следовательно, и периметр фигуры в 100 раз больше. 36*100=3600.
2) Чтобы измерить площадь большой фигуры, нужно сложить площадь первой и второй. Площадь первой=6*4=24. А площадь второй = 6*8=48. 24+48=72.
Если все стороны увеличили в 100 раз, значит, площадь увеличили в 100*100=10000 раз. 72*10000=72000.