Не все могут решать, это трудное задание, а ты сможешь?! В равнобедренном прямоугольном треугольнике сумма длин большей стороны и меньшей высоты равна 12см. Найдите длину окружности, описанной около этого треугольника.
1) ответы первого и второго противоречат друг другу. Значит, по крайней мере, один лжет. Лжет тогда и третий про одинаковое число глаз. Так как если ответ одного из первых двух ложь, а второго правда, то одинакового числа глаз у всех уже быть не может.
Если, называя разное число, лгут оба, то третий, говоря про одинаковое число глаз, – тоже лжец, причем, сказавший правду.Т.к. если все трое и остальные, которые сказали, что один из трех сказал правду, – лжецы, тогда у всех будет по условию 4 глаза : одинаковое число. Противоречие: лжец сказал правду
2) Значит, один из первых двух сказал правду, а другой и третий - точно лжецы. Отсюда следует, что остальные, сказали правду: один из первых трех (получается, что уже из первых двух) сказал правду. Остается выяснить кто, составив и решив уравнение.
3) Х – число остальных, известно, что они говорят правду, как и один и первых трех, значит, у них по 6 глаз. А у двух из первых трех по 4
Если правду сказал первый, то:
6 + 4*2 +6*Х = 30 (гл.)
6Х = 30 – 6 – 8
6Х = 16
Х = 16/6 = 2 2/3
Но число инопланетян должно быть целым, поэтому ясно, что первый сказал неправду
Если правду сказал второй, то:
6 + 4*2 + 6*Х = 26
6Х = 26 – 6 -8
6Х = 12
Х = 2. . По условию подходит
Значит, правду сказал второй. Тогда, кроме трех первых, есть еще 2 остальных
Так как точки B и D лежат на образующих, можно продлить их, отложив от A за точку B отрезок такой же длины AS. И также - с D. Пусть соответствующие точки будут B1 на AB и D1 на AD. Так как точка C лежит в плоскости основания конуса, то прямая B1D1 пройдет через неё.
Треугольник B1AD1 - прямоугольный равнобедренный (по построению AB1 = AD1 = AS). => C - середина B1D1.
Кажется, что пока еще ничего не сделано, но на самом деле уже все известно и про пирамиду, и про конус.
Пусть сторона основания AB = BC = CD = AD = a;
Легко видеть, что AB1 = 2a; это длина боковой стороны пирамиды и одновременно длина образующей конуса.
В самом деле, BC и CD это стороны квадрата, вписанного в равнобедренный прямоугольный треугольник (как именно - понятно, две стороны на катетах, а одна из вершин - на гипотенузе). => BC и CD - средние линии в треугольнике AB1D1.
Теперь уже не составляет труда выразить a через объем пирамиды V = 5√2/π по условию - для этого надо выразить через a высоту пирамиды с ребром основания a и боковым ребром 2a;
Я пока что отложу вычисления, и продолжу рассуждать, как дальше решать задачу.
Кроме образующей нужно знать высоту конуса и (а точнее - или) радиус основания. Высота конуса - это расстояние от точки A до плоскости SB1D1 (или, то же самое, SB1C). Точка A проектируется на эту плоскость в центр окружности, описанной вокруг треугольника SB1D1. Треугольник SB1D1 очевидно равнобедренный в силу очевидной симметрии относительно плоскости SAC. Поэтому центр этой окружности (основания конуса) будет лежать на SC.
То же самое можно было бы объяснить, используя то, что B1D1 перпендикулярно плоскости ASC (в ней есть две прямые, перпендикулярные В1D1 - это AC и высота пирамиды SQ, где Q - центр квадрата ABCD). Поэтому высота конуса обязана лежать в плоскости SAC, так как она перпендикулярна B1D1 и содержит точку A, принадлежащую плоскости SAC.
В результате задача свелась к нахождению высот треугольника SAC. Высота к AC (это SQ) - это высота пирамиды, а высота к SC (пусть это AK, К - основние этой высоты) - высота конуса. При этом найдется и радиус основания конуса, равный расстоянию от S до K.
Стороны этого треугольника уже известны - SA = SC = 2a; AC = a√2;
Вот теперь можно повычислять.
Я обозначу SQ = h - высота пирамиды, AK = H - высота конуса. R = SK - радиус основания конуса.
h^2 + a^2/2 = 4a^2; h = a√(7/2);
H*(2a) = h*(a√2); (это просто удвоенные площади ABC);
правдивые 6 гл.
лживые 4 гл.
1-ый : 30 глаз вместе
2-ой : 26 глаз вместе
3-ий : --- у всех одинаково глаз
ост.: только у одного правда
жителей ? ж.
Решение
1) ответы первого и второго противоречат друг другу. Значит, по крайней мере, один лжет. Лжет тогда и третий про одинаковое число глаз. Так как если ответ одного из первых двух ложь, а второго правда, то одинакового числа глаз у всех уже быть не может.
Если, называя разное число, лгут оба, то третий, говоря про одинаковое число глаз, – тоже лжец, причем, сказавший правду.Т.к. если все трое и остальные, которые сказали, что один из трех сказал правду, – лжецы, тогда у всех будет по условию 4 глаза : одинаковое число. Противоречие: лжец сказал правду
2) Значит, один из первых двух сказал правду, а другой и третий - точно лжецы. Отсюда следует, что остальные, сказали правду: один из первых трех (получается, что уже из первых двух) сказал правду. Остается выяснить кто, составив и решив уравнение.
3) Х – число остальных, известно, что они говорят правду, как и один и первых трех, значит, у них по 6 глаз. А у двух из первых трех по 4
Если правду сказал первый, то:
6 + 4*2 +6*Х = 30 (гл.)
6Х = 30 – 6 – 8
6Х = 16
Х = 16/6 = 2 2/3
Но число инопланетян должно быть целым, поэтому ясно, что первый сказал неправду
Если правду сказал второй, то:
6 + 4*2 + 6*Х = 26
6Х = 26 – 6 -8
6Х = 12
Х = 2. . По условию подходит
Значит, правду сказал второй. Тогда, кроме трех первых, есть еще 2 остальных
3 + 2 = 5 (ж.) всего
ответ: 5 жителей на планете
Пошаговое объяснение:
Это не такая сложная задачка.
Ясно сразу, что AS - образующая.
Так как точки B и D лежат на образующих, можно продлить их, отложив от A за точку B отрезок такой же длины AS. И также - с D. Пусть соответствующие точки будут B1 на AB и D1 на AD. Так как точка C лежит в плоскости основания конуса, то прямая B1D1 пройдет через неё.
Треугольник B1AD1 - прямоугольный равнобедренный (по построению AB1 = AD1 = AS). => C - середина B1D1.
Кажется, что пока еще ничего не сделано, но на самом деле уже все известно и про пирамиду, и про конус.
Пусть сторона основания AB = BC = CD = AD = a;
Легко видеть, что AB1 = 2a; это длина боковой стороны пирамиды и одновременно длина образующей конуса.
В самом деле, BC и CD это стороны квадрата, вписанного в равнобедренный прямоугольный треугольник (как именно - понятно, две стороны на катетах, а одна из вершин - на гипотенузе). => BC и CD - средние линии в треугольнике AB1D1.
Теперь уже не составляет труда выразить a через объем пирамиды V = 5√2/π по условию - для этого надо выразить через a высоту пирамиды с ребром основания a и боковым ребром 2a;
Я пока что отложу вычисления, и продолжу рассуждать, как дальше решать задачу.
Кроме образующей нужно знать высоту конуса и (а точнее - или) радиус основания. Высота конуса - это расстояние от точки A до плоскости SB1D1 (или, то же самое, SB1C). Точка A проектируется на эту плоскость в центр окружности, описанной вокруг треугольника SB1D1. Треугольник SB1D1 очевидно равнобедренный в силу очевидной симметрии относительно плоскости SAC. Поэтому центр этой окружности (основания конуса) будет лежать на SC.
То же самое можно было бы объяснить, используя то, что B1D1 перпендикулярно плоскости ASC (в ней есть две прямые, перпендикулярные В1D1 - это AC и высота пирамиды SQ, где Q - центр квадрата ABCD). Поэтому высота конуса обязана лежать в плоскости SAC, так как она перпендикулярна B1D1 и содержит точку A, принадлежащую плоскости SAC.
В результате задача свелась к нахождению высот треугольника SAC. Высота к AC (это SQ) - это высота пирамиды, а высота к SC (пусть это AK, К - основние этой высоты) - высота конуса. При этом найдется и радиус основания конуса, равный расстоянию от S до K.
Стороны этого треугольника уже известны - SA = SC = 2a; AC = a√2;
Вот теперь можно повычислять.
Я обозначу SQ = h - высота пирамиды, AK = H - высота конуса. R = SK - радиус основания конуса.
h^2 + a^2/2 = 4a^2; h = a√(7/2);
H*(2a) = h*(a√2); (это просто удвоенные площади ABC);
=> H = h/√2 = (a√7)/2;
R^2 = 4a^2 - H^2 = 4a^2 - a^2(7/4) = a^2(9/4);
Объем конуса Vc = (π/3)*R^2*H = (π/3)*a^2*(9/4)*h/√2 = (π/√2)*(9/4)*a^2*h/3 = (π/√2)*(9/4)*V = (π/√2)*(9/4)*5√2/π = 45/4;
Ну, я не знаю, может быть я где-то напутал в арифметике, но это вряд-ли, не похоже. Могли бы подобрать условие так, чтобы в ответе было целое число.