Для решения данной задачи необходимо использовать формулу для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины.
Формула для вычисления дисперсии случайной величины X с плотностью распределения f(x) имеет вид:
Var(X) = ∫(x - μ)^2 * f(x) dx,
где Var(X) - дисперсия случайной величины X,
μ - математическое ожидание случайной величины X,
f(x) - плотность распределения вероятности.
В данном случае, плотность распределения вероятности f(x) = 132π√e−(x−4)218, поэтому для вычисления дисперсии нужно определить математическое ожидание случайной величины X.
Математическое ожидание случайной величины X определяется по формуле:
μ = ∫x * f(x) dx.
Теперь приступим к решению задачи.
1. Вычислим математическое ожидание случайной величины X:
μ = ∫x * f(x) dx = ∫x * 132π√e−(x−4)218 dx.
Возьмем константы 132π√e−4/218 за пределы интегрирования, чтобы упростить вычисления и то, что останется внутри интеграла:
μ = ∫(x * 132π√e−(x−4)218)dx = ∫(11π * 12sqrt(2π) * e−(x−4)218)dx.
Вынесем константы за пределы интегрирования и разложим выражение e−(x−4)218 в ряд Тейлора:
μ = 11π * 12sqrt(2π) * ∫(e−x/218 * e4/218)dx
= 11π * 12sqrt(2π) * e4/218 * ∫e−x/218 dx
= 11π * 12sqrt(2π) * e4/218 * (-218 * e^(-x/218)) + C
= -11π * 12sqrt(2π) * 218 * e4/218 * e^(-x/218) + C.
Здесь C - произвольная константа интегрирования.
Таким образом, математическое ожидание случайной величины X равно:
μ = -11π * 12sqrt(2π) * 218 * e4/218 * e^(-x/218) + C.
2. Теперь, зная математическое ожидание μ, можем вычислить дисперсию случайной величины X:
Var(X) = ∫(x - μ)^2 * f(x) dx.
Подставим найденное значение μ в эту формулу:
Var(X) = ∫(x - (-11π * 12sqrt(2π) * 218 * e4/218 * e^(-x/218) + C))^2 * 132π√e−(x−4)218 dx.
Возможно, в данном случае будет сложно вычислить данный интеграл аналитически из-за сложности выражения внутри интеграла. В таком случае, можно воспользоваться численными методами, такими как метод Монте-Карло или численное интегрирование с помощью компьютерных программ.
Таким образом, для точного вычисления дисперсии случайной величины X необходимо выполнить детальные вычисления и использовать численные методы.
