номер 1
Через точку K, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые a и b. Прямая a пересекает плоскости α и β в точках A1 и A2 соответственно, прямая b – в точках B1 и B2. Найдите отрезок KB1, если A1B1 : A2B2 = 7:3, B1B2 = 20.

номер 2

Сторона равностороннего треугольника ABC равна 6. Точка D равноудалена от вершин этого треугольника. Найдите расстояние от точки D до плоскости треугольника, если расстояние от точки D до вершин треугольника равно 10. В ответе укажите квадрат расстояния.

Всего было 164 книги. С первой полки убрали 16 книг, на 2 и 3 полках переставляли имеющиеся книги, а на четвертую поставили 12 новых книг, следовательно общее число книг стало:

164-16+12=160 (книг) - стало на четырех полках, а т.к. книг стало поровну, значит

160:4= 40 (книг) - стало на каждой полке, а теперель легко определить, сколько книг было на каждой полке:

40+16=56 (книг) - было на 1 полке

40+15=55 (книг) - было на 2 полке

40-15=25 (книг) - было на 3 полке

40-12=28 (книг) - было на 4 полке

3. Дано: a||b||c||d. Докажите, что a||d.

4. Прямые АВ и CD параллельны. Докажите, что если отрезок ВС пересекает прямую AD, то точка пересечения принадлежит отрезку AD (см. рис. 70).

5. Дан треугольник ABC. На стороне АВ отмечена точка B1, а на стороне АС — точка С1(рис. 87). Назовите внутренние односторонние и внутренние накрест лежащие углы при прямых АВ, АС и секущей В1С1

6. Назовите внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние углы на рисунке 72.

7. Отрезки AD и ВС пересекаются. Для прямых АС и BD и секущей ВС назовите пару внутренних накрест лежащих углов. Для тех же прямых и секущей АВ назовите пару внутренних односторонних углов. Объясните ответ.

8. Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямзгю, параллельную прямой АВ. 9. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

10. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е и делятся этой точкой пополам. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.

11. Треугольники ABC и BAD равны. Точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.

12. Угол ABC равен 80°, а угол BCD равен 120°. Могут ли прямые АВ и CD быть параллельными? Обоснуйте ответ.

13. Прямые АС и BD параллельны, причем точки А и D лежат по разные стороны от секущей ВС (рис. 77). Докажите, что:

1) углы DBC и АСВ внутренние накрест лежащие относительно секущей ВС;

2) луч ВС проходит между сторонами угла ABD;

3) углы CAB и DBA внутренние односторонние относительно секущей АВ.

14. 1) Разность двух внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 30°, Найдите эти углы.
2) Сумма двух внутренних накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей равна 150°. Чему равны эти углы?

15. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 72°. Найдите остальные семь углов.

16. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 30°. Может ли один из остальных семи углов равняться 70°? Объясните ответ.