Номер 4, подробно, как можете​

1. Имеем дело с дифференциальным уравнением второго порядка с правой частью.
Нужно найти общее решение неоднородного уравнения:
       
                             yо.н. = уо.о. + уч.н.

Где уо.о. - общее решение однородного уравнения, уч.н. - частное решение.

Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.


Перейдем к характеристическому уравнению, осуществив замену .



Общее решение однородного уравнения: yo.o. = 

Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Правую часть исходн. ДУ отметим как за две функции, т.е.  и 

Рассмотрим функцию 

Сравнивая  с корнями характеристического уравнения, и, принимая во внимания, что n=1, частное решение будем искать в виде.
yч.н.₁ = 

И, вычислив первую и вторую производную: , подставим в исходное уравнение без функции .


Приравниваем коэффициенты при степени х:


уч.н.₁ = (x/3) - 2/9 

Рассмотрим теперь функцию 

Аналогично сравнивая  с корнями характеристического уравнения и принимая во внимая, что n=0, частное решение будем искать в следующем виде:
уч.н.₂ = 

И тогда первая и вторая производная равны соответственно  и 



Тогда уч.н.₂ = -(1/2) * eˣ

И, воспользовавшись теоремой о суперпозиции, частное решение неоднородного уравнения: уч.н. = уч.н.₁ + уч.н.₂ = (x/3)- (2/9) - (1/2) * eˣ

Тогда общее решение неоднородного уравнения:

           

Задание 2.
Это ДУ третьего порядка, однородное. Переходим к характеристическому уравнению, сделав замену Эйлера .


Общее решение однородного уравнения: 


Найдем частное решение, подставляя начальные условия.


Частное решение: 

Рассмотрим граф G с вершинами в городах, ребра которого соответствуют дорогам. Докажем, что вершины этого графа можно покрасить в  2N + 2  цвета правильным образом (то есть так, чтобы никакие две вершины одинакового цвета не были соединены ребром). Это равносильно утверждению задачи.

 Выберем по одному ребру в каждом нечётном цикле графа G. Назовём эти ребра плохими, а остальные – хорошими. Удалив из графа G плохие рёбра, мы получим граф, в котором нет циклов нечётной длины.

 Лемма. Вершины графа без нечётных циклов можно раскрасить правильным образом в два цвета.

 Доказательство. Достаточно доказать лемму для связного графа. Выберем вершину A и припишем каждой вершине число, равное минимальной длине пути до неё из A. Тогда два одинаковых числа не стоят рядом (иначе есть нечётный цикл). Раскрасив все чётные вершины в один цвет, а нечётные – в другой, получим требуемое.

 Таким образом, вершины графа G можно покрасить в два цвета (пусть это цвета a и b) так, что никакие две вершины одного цвета не соединены хорошим ребром.

 Поскольку через каждую вершину графа G проходит не более N нечётных циклов, то из каждой вершины выходит не более N плохих рёбер.

 Следовательно, мы можем раскрасить вершины графа G в  N + 1  цвет так, чтобы никакие две из них не были соединены в графе G плохим ребром. (Будем красить вершины по очереди. Добавляя очередную вершину A, заметим, что среди покрашенных ранее она соединена плохими ребрами не более, чем с N вершинами, следовательно, мы можем покрасить вершину A в цвет, отличный от цветов ранее покрашенных вершин, соединенных с A плохими рёбрами.)

 После этого у всех вершин изменим оттенок на светлый, если в первой раскраске она была покрашена в цвет a, и на тёмный, если она была покрашена в цвет b.

 В полученной раскраске используется  2N + 2  цвета (с учетом оттенков), и никакие две вершины одного цвета не соединены ребром