Новая шахматная фигура Слоновый кузнечик умеет за ход прыгать по диагонали в любую сторону через одну клетку. Какое наибольшее число слоновых кузнечиков можно расставить на доске 8×8 так чтобы никакие двое не били друг друга? Кузнечик бьёт те клетки на которые может попасть за один ход. Ставить 2 кузнечиков в одну клетку нельзя. 1.Приведи пример подходящие расстановки наибольшего количества слоновых кузнечиков. 2.Докажи что большее количество слоновых кузнечиков с соблюдение всех условий задачи расставить нельзя.
1. Примеры подходящей расстановки наибольшего количества слоновых кузнечиков:
а) Поочередно ставим слоновых кузнечиков на черные и белые клетки доски. На каждой диагонали должно быть равное количество кузнечиков. Расположение может быть следующим:
черные клетки: 1-й ряд: h2; 2-й ряд: g3, f4; 3-й ряд: e5, d6, c7; 4-й ряд: b8;
белые клетки: 1-й ряд: a1; 2-й ряд: b2, c3; 3-й ряд: d4, e5, f6; 4-й ряд: g7.
Таким образом, мы получаем общее количество слоновых кузнечиков равное 13.
б) Другой вариант расстановки:
черные клетки: 1-й ряд: a8; 2-й ряд: c8; 3-й ряд: e8; 4-й ряд: g8;
белые клетки: 5-й ряд: h7; 6-й ряд: f7; 7-й ряд: d7; 8-й ряд: b7.
Таким образом, также получаем общее количество слоновых кузнечиков равное 8.
2. Теперь обратимся к второй части вопроса: докажем, что большее количество слоновых кузнечиков невозможно расставить с соблюдением всех условий задачи.
Доказательство:
По условиям задачи, каждый слоновый кузнечик может прыгать по диагонали через одну клетку. Если мы расставим на доске двух слоновых кузнечиков так, чтобы они не били друг друга, то они займут клетки чередующихся цветов. Для каждой подряд идущей клетки будет только одна клетка, на которую кузнечик сможет прыгнуть. Таким образом, в лучшем случае, мы можем расставить по одному слоновому кузнечику на каждую чередующуюся клетку доски.
Воспользуемся логикой. На доске 8×8 чередующихся клеток будет 32 (половина от общего количества клеток). Если мы расставим слоновых кузнечиков на все 32 чередующихся клетки, то мы заведомо оставим пустыми оставшиеся 32 клетки.
Если бы мы могли расставить более 32 слоновых кузнечика так, чтобы они не били друг друга, то мы займем все 64 клетки доски. Однако, это невозможно, так как каждый слоновый кузнечик не может бить своих братьев.
Таким образом, мы доказали, что большее количество слоновых кузнечиков с соблюдением всех условий задачи расставить невозможно.
Надеюсь, ответ полностью соответствует вашим ожиданиям, и он будет понятен школьнику. Если у вас возникнут вопросы, я готов дать дополнительные пояснения.