Нужна ((1. даны точки а(3; 2; 0), в(4; 0; 1), с(-5; 0; 2), d(-8; 6; -1). проверьте, или . какой из векторов длиннее и во сколько раз? 2. при каких значениях a и b векторы и коллинеарны? 3. по данным векторам и постройте векторы 2, -3, , , .4. постройте параллелограмм на векторах и , найдите длины его диагоналей.5. даны три последовательные вершины параллелограмма а(1; -2; 3), в(3; 2; 1) и с(6; 4; 4). найдите его четвертую вершину d.6. вектор длины составляет с осями координат равные острые углы. найдите эти углы.7. вектор составляет с осями оy и оz углы 60° и 120°. какой угол он составляет с осью оx? 8. на оси оz найдите точку, равноудаленную от а(4; -1; 2) и в(0; 2; ‑1).
Длина вектора AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
Подставим значения точек A(3; 2; 0) и B(4; 0; 1) в формулу:
Длина вектора AB = √((4 - 3)^2 + (0 - 2)^2 + (1 - 0)^2)
= √(1^2 + (-2)^2 + 1^2)
= √(1 + 4 + 1)
= √6
≈ 2.449
Подставим значения точек C(-5; 0; 2) и D(-8; 6; -1) в формулу:
Длина вектора CD = √((-8 - (-5))^2 + (6 - 0)^2 + (-1 - 2)^2)
= √((-3)^2 + 6^2 + (-3)^2)
= √(9 + 36 + 9)
= √54
= 3√6
≈ 7.348
Итак, вектор CD длиннее вектора AB примерно в 3 раза.
2. Два вектора a и b коллинеарны, то есть параллельны или противоположно направлены, если и только если их координаты пропорциональны.
Проверим, когда векторы a и b коллинеарны.
Подставим значения координат векторов a(3, 2, 0) и b(4, 0, 1) в уравнение пропорциональности.
Пусть a = kb, где k - коэффициент пропорциональности.
Тогда получим систему уравнений:
3 = 4k
2 = 0k
0 = 1k
Из второго уравнения следует, что 0k = 2, что невозможно. Таким образом, значения a и b не могут быть коллинеарными.
3. Построение векторов:
Для построения вектора 2, умножим каждую координату вектора a на 2:
2a = 2(3, 2, 0) = (6, 4, 0)
Для построения вектора -3, умножим каждую координату вектора b на -3:
-3b = -3(4, 0, 1) = (-12, 0, -3)
Для построения вектора c, сложим соответствующие координаты векторов a и b:
c = a + b = (3, 2, 0) + (4, 0, 1) = (3 + 4, 2 + 0, 0 + 1) = (7, 2, 1)
Для построения вектора d, вычтем соответствующие координаты вектора b из вектора a:
d = a - b = (3, 2, 0) - (4, 0, 1) = (3 - 4, 2 - 0, 0 - 1) = (-1, 2, -1)
4. Построение параллелограмма и нахождение длин его диагоналей:
Построим параллелограмм, используя векторы a и b:
(Визуальное представление параллелограмма)
Длина диагонали AC равна длине вектора c:
Длина диагонали AC = √((7 - 3)^2 + (2 - 2)^2 + (1 - 0)^2)
= √(4^2 + 0^2 + 1^2)
= √(16 + 0 + 1)
= √17
Длина диагонали BD равна длине вектора d:
Длина диагонали BD = √((-1 - 3)^2 + (2 - 2)^2 + (-1 - 0)^2)
= √((-4)^2 + 0^2 + (-1)^2)
= √(16 + 0 + 1)
= √17
Итак, длины диагоналей AC и BD параллелограмма равны √17.
5. Для нахождения четвертой вершины параллелограмма, используем свойство параллелограмма: противоположные стороны параллельны и равны по длине.
Пусть a и b - векторы сторон параллелограмма, а d - неизвестная четвертая вершина.
Так как стороны параллельны и равны, то a = cd и b = ad.
Зная значения векторов a = (3, 2, 0) и b = (4, 0, 1), можем записать систему уравнений для нахождения координат вершины d:
cd = a
ad = b
Решим данную систему уравнений:
3d1 - 2d2 = 3 (уравнение 1)
2d1 - 2d2 = 0 (уравнение 2)
0d1 + d2 = 1 (уравнение 3)
Из уравнения 3 получаем, что d2 = 1. Подставим это значение в уравнение 2:
2d1 - 2(1) = 0
2d1 - 2 = 0
2d1 = 2
d1 = 1
Таким образом, координаты вершины d равны (1, 1, 1).
6. Чтобы найти углы, которые вектор составляет с осями координат, воспользуемся формулой:
Косинус угла α между вектором а и осью ох равен отношению проекции вектора α на ось ох к его длине:
cos α = a1 / |а|
Косинус угла β между вектором а и осью оу равен отношению проекции вектора а на ось оу к его длине:
cos β = a2 / |а|
Косинус угла γ между вектором а и осью оz равен отношению проекции вектора а на ось оz к его длине:
cos γ = a3 / |а|
Подставим значения координат вектора а(3, 2, 0) в формулы:
cos α = 3 / √(3^2 + 2^2 + 0^2)
cos β = 2 / √(3^2 + 2^2 + 0^2)
cos γ = 0 / √(3^2 + 2^2 + 0^2)
cos α = 3 / √13
cos β = 2 / √13
cos γ = 0 / √13
Угол α можно найти, взяв арккосинус от выражения cos α:
α = arccos(3 / √13)
Аналогично, можно найти углы β и γ.
7. Зная, что косинус угла между вектором a и осью оy равен 60°, и косинус угла между вектором a и осью оz равен 120°, можем использовать формулу:
Косинус угла α между вектором а и осью оу равен отношению проекции вектора α на ось оу к его длине:
cos α = a2 / |а|
Косинус угла β между вектором а и осью оz равен отношению проекции вектора а на ось оz к его длине:
cos β = a3 / |а|
Подставим значения углов 60° и 120° в формулы:
60° = arccos(a2 / |a|)
120° = arccos(a3 / |a|)
Решим данную систему уравнений, чтобы найти значения a2 и a3:
a2 = |a| * cos 60°
a3 = |a| * cos 120°
a2 = |a| * 0.5
a3 = |a| * (-0.5)
Подставим найденные значения:
cos α = 0.5
cos β = -0.5
Найдем углы α и β, взяв арккосинус от выражений cos α и cos β.
8. Для нахождения точки, равноудаленной от точек A(4, -1, 2) и B(0, 2, -1), воспользуемся формулой средней точки:
Средняя точка M между точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) имеет координаты:
M((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2)
Подставим значения точек A(4, -1, 2) и B(0, 2, -1) в формулу:
M((4 + 0) / 2, (-1 + 2) / 2, (2 + (-1)) / 2)
= (4 / 2, 1 / 2, 1 / 2)
= (2, 0.5, 0.5)
Итак, точка M равноудалена от точек A(4, -1, 2) и B(0, 2, -1) и имеет координаты (2, 0.5, 0.5).