В решении.
Пошаговое объяснение:
1) Басейн при одночасному включенні трьох труб може наповнитися за
4 год. Через одну першу трубу - за 10 год, а через одну другу – за 15 год.
За який час може наповнитися басейн через одну третю трубу?
1 - объём всего бассейна.
1/10 - часть бассейна, заполняемая первой трубой за час.
1/15 - часть бассейна, заполняемая второй трубой за час.
1/х - часть бассейна, заполняемая третьей трубой за час (время неизвестно).
По условию задачи уравнение:
1/10 + 1/15 + 1/х = 1/4
Общий знаменатель 60х, надписываем над числителями дополнительные множители, избавляемся от дроби:
6х*1 + 4х*1 + 60 = 15х*1
6х+4х+60=15х
10х-15х= -60
-5х = -60
х= -60/-5
х=12 (часов) - время заполнения бассейна одной третьей трубой.
2) Двом екскаваторам дано завдання вирити котлован. Працюючи
разом, вони можуть виконати це завдання за 20 днів. Але спочатку
24 дні працював один екскаватор, а потім роботу закінчив інший. За
який час було виконано завдання, якщо екскаватор, що працював
першим, може один вирити весь котлован за 36 днів?
1 - объём всего котлована.
1)Сначала нужно найти производительность второго экскаватора (часть котлована, которую он может выкопать за день):
1/36 - часть котлована, которую может выкопать первый экскаватор за день (его производительность по условию задачи).
1/х - часть котлована, которую может выкопать второй экскаватор за день (его производительность по условию задачи).
(1/36 + 1/х) - общая производительность двух экскаваторов.
По условию вместе могут выкопать котлован за 20 дней, уравнение:
(1/36 + 1/х) * 20 = 1
20/36 + 20/х = 1
Общий знаменатель 36х, надписываем над числителями дополнительные множители, избавляемся от дроби:
х*20 +36*20 = 36х*1
20х+720=36х
20х-36х= -720
-16х= -720
х= -720/-16
х=45 (дней) - за столько дней может выкопать котлован второй экскаватор.
А его производительность 1/45 - часть котлована, которую может выкопать второй экскаватор за день.
2)Найти общее количество дней, за которое был выкопан котлован.
По условию задачи сначала 24 дня работал первый экскаватор.
1/36 * 24 = 24/36 = 2/3 (котлована выкопал первый экскаватор).
1 - 2/3 = 1/3 (котлована докапывал второй экскаватор).
1/3 : 1/45 = 15 (дней) - работал второй экскаватор.
24 + 15 = 39 (дней) - общее количество дней, за которое два экскаватора выкопали котлован, работая по очереди.
Проверка:
1/36 * 24 + 1/45 * 15 = 2/3 + 1/3 = 1, верно.
В параллелограмме ABCD биссектрисы углов B и C пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD.
Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BM=9, BC=15
---------------
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180º ( углы при параллельных прямых и секущей).
Cумма половин этих углов в ∆ СМВ равна 180º:2=90º, ⇒
∠СМВ=180º-90º= 90º.
В ⊿ СМВ отношение катета ВМ и гипотенузы СВ равно 3:5, из чего следует, что ⊿ СМВ–египетский, и СМ=12 ( можно проверить по т.Пифагора).
S ⊿ СМВ=СМ•BM:2=12•9:2=54
Биссектриса СМ отсекает от АВСD равнобедренный треугольник CDM ( накрестлежащие углы равны половине угла ВСD)⇒ СD=МD
На том же основании ∆ МАВ равнобедренный и АМ=АВ
Но СD=АВ ⇒ DM=AM, и стороны СВ и AD равны по 2 АВ.
Проведем МК || СD|| АВ. МК - медиана ⊿ СМВ и делит его на равные по площади треугольники.
В четырехугольниках СКМD и МКВА стороны равны и параллельны,⇒ они - ромбы.
Площадь каждого ромба равна площади ⊿ СМВ ( состоит из 2-х равных по площади половин ⊿ СМВ).
S ABCD=2S СМВ=2•54=108 (ед. площади).
В решении.
Пошаговое объяснение:
1) Басейн при одночасному включенні трьох труб може наповнитися за
4 год. Через одну першу трубу - за 10 год, а через одну другу – за 15 год.
За який час може наповнитися басейн через одну третю трубу?
1 - объём всего бассейна.
1/10 - часть бассейна, заполняемая первой трубой за час.
1/15 - часть бассейна, заполняемая второй трубой за час.
1/х - часть бассейна, заполняемая третьей трубой за час (время неизвестно).
По условию задачи уравнение:
1/10 + 1/15 + 1/х = 1/4
Общий знаменатель 60х, надписываем над числителями дополнительные множители, избавляемся от дроби:
6х*1 + 4х*1 + 60 = 15х*1
6х+4х+60=15х
10х-15х= -60
-5х = -60
х= -60/-5
х=12 (часов) - время заполнения бассейна одной третьей трубой.
2) Двом екскаваторам дано завдання вирити котлован. Працюючи
разом, вони можуть виконати це завдання за 20 днів. Але спочатку
24 дні працював один екскаватор, а потім роботу закінчив інший. За
який час було виконано завдання, якщо екскаватор, що працював
першим, може один вирити весь котлован за 36 днів?
1 - объём всего котлована.
1)Сначала нужно найти производительность второго экскаватора (часть котлована, которую он может выкопать за день):
1/36 - часть котлована, которую может выкопать первый экскаватор за день (его производительность по условию задачи).
1/х - часть котлована, которую может выкопать второй экскаватор за день (его производительность по условию задачи).
(1/36 + 1/х) - общая производительность двух экскаваторов.
По условию вместе могут выкопать котлован за 20 дней, уравнение:
(1/36 + 1/х) * 20 = 1
20/36 + 20/х = 1
Общий знаменатель 36х, надписываем над числителями дополнительные множители, избавляемся от дроби:
х*20 +36*20 = 36х*1
20х+720=36х
20х-36х= -720
-16х= -720
х= -720/-16
х=45 (дней) - за столько дней может выкопать котлован второй экскаватор.
А его производительность 1/45 - часть котлована, которую может выкопать второй экскаватор за день.
2)Найти общее количество дней, за которое был выкопан котлован.
По условию задачи сначала 24 дня работал первый экскаватор.
1/36 * 24 = 24/36 = 2/3 (котлована выкопал первый экскаватор).
1 - 2/3 = 1/3 (котлована докапывал второй экскаватор).
1/3 : 1/45 = 15 (дней) - работал второй экскаватор.
24 + 15 = 39 (дней) - общее количество дней, за которое два экскаватора выкопали котлован, работая по очереди.
Проверка:
1/36 * 24 + 1/45 * 15 = 2/3 + 1/3 = 1, верно.
В параллелограмме ABCD биссектрисы углов B и C пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD.
Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BM=9, BC=15
---------------
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180º ( углы при параллельных прямых и секущей).
Cумма половин этих углов в ∆ СМВ равна 180º:2=90º, ⇒
∠СМВ=180º-90º= 90º.
В ⊿ СМВ отношение катета ВМ и гипотенузы СВ равно 3:5, из чего следует, что ⊿ СМВ–египетский, и СМ=12 ( можно проверить по т.Пифагора).
S ⊿ СМВ=СМ•BM:2=12•9:2=54
Биссектриса СМ отсекает от АВСD равнобедренный треугольник CDM ( накрестлежащие углы равны половине угла ВСD)⇒ СD=МD
На том же основании ∆ МАВ равнобедренный и АМ=АВ
Но СD=АВ ⇒ DM=AM, и стороны СВ и AD равны по 2 АВ.
Проведем МК || СD|| АВ. МК - медиана ⊿ СМВ и делит его на равные по площади треугольники.
В четырехугольниках СКМD и МКВА стороны равны и параллельны,⇒ они - ромбы.
Площадь каждого ромба равна площади ⊿ СМВ ( состоит из 2-х равных по площади половин ⊿ СМВ).
S ABCD=2S СМВ=2•54=108 (ед. площади).