Для решения данной системы уравнений, нам необходимо выразить переменные x и b через известные величины a и c.
Начнем с первого уравнения: a·x = b.
Чтобы найти x, нужно избавиться от коэффициента a. Для этого разделим обе части уравнения на a: (a·x)/a = b/a.
Таким образом, получаем x = b/a.
Теперь перейдем ко второму уравнению: x·a = c.
Согласно аксиоме сложения, a·x = x·a, поэтому данное уравнение эквивалентно первому уравнению: a·x = c.
Мы знаем, что x = b/a, поэтому можем подставить это значение во второе уравнение:
a·(b/a) = c.
Сокращаем a в числителе и знаменателе: b = c.
Таким образом, мы получили ответ: b = c.
Обоснование: Когда мы подставляем x = b/a обратно во второе уравнение системы, мы получаем a·(b/a) = c, что эквивалентно уравнению a·x = c, которое уже имеется в системе. Следовательно, оба уравнения сводятся к одному уравнению: a·x = c. Поэтому решение системы состоит в условии b = c.
Пошаговое решение:
1. Первое уравнение: a·x = b.
2. Делим обе части на a: (a·x)/a = b/a.
3. Получаем x = b/a.
4. Второе уравнение: x·a = c.
5. Заменяем x на b/a: (b/a)·a = c.
6. Сокращаем a в числителе и знаменателе: b = c.
Чтобы ответить на данные вопросы, давайте разберемся с каждым пунктом по очереди.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 или на 8?
Для этого нужно понять, как суммируются последние цифры чисел, оканчивающихся на 4 и 8.
Чтобы вычислить сумму последних цифр 30 чисел, оканчивающихся на 4 или 8, мы можем использовать остатки от деления на 10. Заметим, что любое число, оканчивающееся на 4 или 8, дает остаток 4 или 8, соответственно, при делении на 10.
Начнем с первого уравнения: a·x = b.
Чтобы найти x, нужно избавиться от коэффициента a. Для этого разделим обе части уравнения на a: (a·x)/a = b/a.
Таким образом, получаем x = b/a.
Теперь перейдем ко второму уравнению: x·a = c.
Согласно аксиоме сложения, a·x = x·a, поэтому данное уравнение эквивалентно первому уравнению: a·x = c.
Мы знаем, что x = b/a, поэтому можем подставить это значение во второе уравнение:
a·(b/a) = c.
Сокращаем a в числителе и знаменателе: b = c.
Таким образом, мы получили ответ: b = c.
Обоснование: Когда мы подставляем x = b/a обратно во второе уравнение системы, мы получаем a·(b/a) = c, что эквивалентно уравнению a·x = c, которое уже имеется в системе. Следовательно, оба уравнения сводятся к одному уравнению: a·x = c. Поэтому решение системы состоит в условии b = c.
Пошаговое решение:
1. Первое уравнение: a·x = b.
2. Делим обе части на a: (a·x)/a = b/a.
3. Получаем x = b/a.
4. Второе уравнение: x·a = c.
5. Заменяем x на b/a: (b/a)·a = c.
6. Сокращаем a в числителе и знаменателе: b = c.
Итак, решение системы уравнений: b = c.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 или на 8?
Для этого нужно понять, как суммируются последние цифры чисел, оканчивающихся на 4 и 8.
Чтобы вычислить сумму последних цифр 30 чисел, оканчивающихся на 4 или 8, мы можем использовать остатки от деления на 10. Заметим, что любое число, оканчивающееся на 4 или 8, дает остаток 4 или 8, соответственно, при делении на 10.
Теперь просуммируем эти остатки от деления на 10:
0 + 4 + 8 + 4 + 8 + ... + 4 + 8 = 2 * (0 + 4 + 8 + ... + 4 + 8)
Поэтому сумма всех чисел, оканчивающихся на 4 или 8, является четным числом.
Сумма 2786 не является четным числом. Поэтому на доске не может быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 или на 8.
б) Могут ли ровно четыре числа на доске оканчиваться на 8?
Предположим, что ровно четыре числа на доске оканчиваются на 8. Обозначим их сумму как S.
Теперь рассмотрим сумму всех чисел, оканчивающихся на 4 или 8:
S + (4+8) + (4+8) + ... + (4+8) = S + 4*8 = S + 32
Теперь у нас есть два случая:
1) Если S = 0 (то есть нет чисел на доске, оканчивающихся на 8), то сумма всех чисел, оканчивающихся на 4 или 8, равна 32.
2) Если S > 0 (то есть есть числа на доске, оканчивающиеся на 8), то сумма всех чисел, оканчивающихся на 4 или 8, должна быть больше 32.
Однако, сумма всех чисел, оканчивающихся на 4 или 8, равна 2786, что больше 32.
Поэтому ровно четыре числа на доске не могут оканчиваться на 8.
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 8, может быть на доске?
Допустим, количество чисел, оканчивающихся на 8, равно k.
Тогда количество чисел, оканчивающихся на 4, будет равно 30 - k.
Сумма всех чисел, оканчивающихся на 8, будет равна 8k, а сумма всех чисел, оканчивающихся на 4, будет равна 4(30 - k).
Теперь составим уравнение:
8k + 4(30 - k) = 2786
Раскроем скобки и упростим уравнение:
8k + 120 - 4k = 2786
4k + 120 = 2786
4k = 2666
k = 666.5
Так как k должно быть натуральным числом, наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 8, может быть равно 667.