Нужно решить в п'яти диктантах петро помилився 31 раз, до того ж в кожному наступному диктанті він робив менше помилок, ніж в попередньому. в останньому диктанті петро зробив в 3 рази менше помилок, ніж в першому. скільки помилок зробив петро в другому диктанті? ​

Требуются  логические рассуждения с перебором возможных вариантов.

Петя                  Вася                                                 Толя
"все лжецы"     "Лжец только Петя"                              ?

Формулировка задания такова что допустить вариант что Петя сказал истину невозможно, ведь он не может сказать истину о том что все ВКЛЮЧАЯ ЕГО САМОГО лжецы, тогда вступает в силу "парадокс лжеца".

Поэтому мы сразу можем утверждать, что Петя говорит ЛОЖЬ.
В чем именно эта ложь заключается? - не в том что он является лжецом, а в том, что ВСЕ из них являются лжецами.
Отсюда можно сделать вывод, что истиной является то, что 
НЕ ВСЕ ОНИ являются лжецами.
Иначе говоря, Среди них есть РЫЦАРЬ и это Либо Вася либо Толя либо оба сразу. 

Предположим, что Вася лжец, тогда он соврал он том, что лжец только Петя. И тогда Единственным вариантом на роль Рыцаря остается Толя. ПЕРВЫЙ ВАРИАНТ ОТВЕТА НА ВОПРОС ЗАДАЧИ.

Предположим Вася говорит правду, тогда он сказал правду о том, что лжецом является ТОЛЬКО Петя и тогда остальные двое - Вася и Толя - РЫЦАРИ ВТОРОЙ ВАРИАНТ ответа.

В любом Случае, для Толи остается роль Рыцаря и никак иначе. 

0. Проведём высоту SO ⊥ (ABC), медиану (и биссектрису, и высоту) CL. Т.к. пирамида правильная, то O - центр треугольника ABC. По свойству медиан CO = 2OL.
1. MN - средняя линия треугольника SAB, поэтому MN ║ AB, треугольники SMN и SAB подобны и SP = SL/2, откуда PL = SL - SP = SL/2.
2. MN ║ (ABC) и MN ⊂ α, поэтому α ∩ (ABC) = XY, XY ║ MN, AB.
3. Опустим из P на CL перпендикуляр PK. P ∈ α, α ∩ (ABC) = XY, поэтому K ∈ XY, PK ⊂ α, PK ⊥ (ABC).
4. Рассмотрим треугольники SOL, PKL. Углы SOL, PKL - прямые, угол L общий, поэтому треугольники подобны. PL = SL/2, поэтому KL = OL/2.
Тогда
CK : KL = (CO + OL/2) : OL/2 = (2OL + OL/2) : OL/2 = 5 : 1.
Пункт а) доказан.

Решаем б). Расстояние между точкой и плоскостью измеряется по перпендикуляру, т.к. (ABC) ⊥ α, то перпендикуляр лежит в (ABC), а значит, перпендикуляр опущен на прямую XY. Но тогда нам нужно расстояние между AB и XY, т.к. AB ║ XY и A ∈ AB, а оно равно LK.

CL = √3 * AB / 2 = 15 √3
LK = CL / 6 = (5 √3) / 2