Все обозначения на чертеже, пояснять, что есть что - не буду. Из подобия треугольников ADE и BCE следует x/b = (x + b)/a; что означает, что AC делит ED пропорционально AD и AE, то есть AC - биссектриса угла EAD. Далее, угол BCE = угол ADE, следовательно, оба треугольника BCE и ACD - равнобедренные, имеют равные углы при основании и равные основания, так как BC = CD. Таким образом, x = BE = EC = a; Итак, в равнобедренном треугольнике AED основание AD = биссектриса AC = отрезок от вершины до основания биссектрисы EC. Этот треугольник полезно запомнить - и сейчас станет ясно, почему. Если обозначить угол CAD = α; то теперь очевидно, что угол CDA = угол ACD = 2α; (AC - биссектриса угла А, и не надо забывать, что и трапеция равнобедренная). Угол BCA = α; поэтому угол BCD = 3α; и 5α = 180°; откуда α = 36°; углы трапеции равны 108° и 72°; это ответ :)
а теперь - почему так устроенный треугольник AED так важен. Поскольку x = a; то (a + b)/a = a/b; если обозначить b/a = y; то 1 + y = 1/y; или y^2 + y - 1 = 0; откуда y = (√5 - 1)/2; Отсюда получается cos(72°) = (a/2)/(a + b) = (1/2)/(1 + b/a) = 1/(2 + 2y) = 1/(√5 + 1) = (√5 - 1)/4; cos(72°) = (√5 - 1)/4; то есть получено выражение в радикалах для косинуса угла 72°; конечно же, cos(72°) = sin(18°); и это означает, что получены выражения в радикалах для всех углов, кратных 18° (ну, я их вычислять тут не буду, это и не важно).
Из подобия треугольников ADE и BCE следует
x/b = (x + b)/a;
что означает, что AC делит ED пропорционально AD и AE, то есть AC - биссектриса угла EAD.
Далее, угол BCE = угол ADE, следовательно, оба треугольника BCE и ACD - равнобедренные, имеют равные углы при основании и равные основания, так как BC = CD.
Таким образом, x = BE = EC = a;
Итак, в равнобедренном треугольнике AED основание AD = биссектриса AC = отрезок от вершины до основания биссектрисы EC. Этот треугольник полезно запомнить - и сейчас станет ясно, почему.
Если обозначить угол CAD = α; то теперь очевидно,
что угол CDA = угол ACD = 2α; (AC - биссектриса угла А, и не надо забывать, что и трапеция равнобедренная). Угол BCA = α; поэтому угол BCD = 3α; и
5α = 180°; откуда α = 36°;
углы трапеции равны 108° и 72°; это ответ :)
а теперь - почему так устроенный треугольник AED так важен.
Поскольку x = a; то (a + b)/a = a/b;
если обозначить b/a = y; то 1 + y = 1/y; или y^2 + y - 1 = 0;
откуда y = (√5 - 1)/2;
Отсюда получается cos(72°) = (a/2)/(a + b) = (1/2)/(1 + b/a) = 1/(2 + 2y) = 1/(√5 + 1) = (√5 - 1)/4;
cos(72°) = (√5 - 1)/4; то есть получено выражение в радикалах для косинуса угла 72°; конечно же, cos(72°) = sin(18°); и это означает, что получены выражения в радикалах для всех углов, кратных 18° (ну, я их вычислять тут не буду, это и не важно).
Пусть х км/ч - скорость парохода по течению реки; у км/ч - скорость парохода против течения реки. Составим систему уравнений по условию задачи:
{2х + 3у = 85
{3х - 2у = 30
- - - - - - - - - -
Сложим оба уравнения:
5х + у = 115 ⇒ у = 115 - 5х
Подставим значение у в любое уравнение системы
2х + 3 · (115 - 5х) = 85 или 3х - 2 · (115 - 5х) = 30
2х + 345 - 15х = 85 3х - 230 + 10х = 30
2х - 15х = 85 - 345 3х + 10х = 30 + 230
-13х = -260 13х = 260
х = -260 : (-13) х = 260 : 13
х = 20 х = 20
у = 115 - 5х = 115 - 5 · 20 = 115 - 100 = 15
Відповідь: 20 км/год - швидкість за течією; 15 км/год - швидкість проти течії.