1) Примем сторону основания а = 4 (для кратности длин отрезков).
В осевом сечении NSM отрезок NK медиана, но так как треугольник NSM равносторонний (углы при основании по 60 градусов), то NK есть и высота на сторону SM и биссектриса угла в 60 градусов.
Отрезок NК проходит под углом 30 градусов к основанию и пересекает высоту SO в точке Е.
Угол между ЕК и плоскостью ASC и есть искомый угол.
Горизонтальная проекция отрезка ЕК равна 1, его длина равна:
ЕК = 1/cos 30° = 1/(√3/2) = 2/√3 = 2√3/3.
Расстояние от точки К до плоскости ASCравно 1*sin 45° = √2/2.
Отсюда находим искомый угол α:
sin α = (√2/2)/(2√3/3) = (3/4)*√(2/3) ≈ 0,612372.
α = arc sin 0,612372 = 0,659058 радиан = 37,7612°.
2) Поместим пирамиду в систему координат вершиной В в начало, ребром ВА по оси Ох, ребром ВС по оси Оу.
Координаты точек:
А(4; 0; 0), S(2; 2; 2√3), C(0; 4; 0).
По трём точкам находим уравнение плоскости ASC:
ASC: -13,8564x - 13,8564y + 0z + 55,42563 = 0 .
Точки К(2; 3; √3), N(2; 0; 0).
Вектор NK: (0; 3; √3).
Направляющий вектор прямой имеет вид:
l m n Ск.произв. -41,56921938
s = {l; m; n} 0 3 1,732050808
Модуль = √12 = 3,464101615.
Вектор нормали плоскости имеет вид: A B C sin fi = 0,612372436
б) Эту задачу можно решить двумя
1) геометрическим,
2) векторным.
1) Примем сторону основания а = 4 (для кратности длин отрезков).
В осевом сечении NSM отрезок NK медиана, но так как треугольник NSM равносторонний (углы при основании по 60 градусов), то NK есть и высота на сторону SM и биссектриса угла в 60 градусов.
Отрезок NК проходит под углом 30 градусов к основанию и пересекает высоту SO в точке Е.
Угол между ЕК и плоскостью ASC и есть искомый угол.
Горизонтальная проекция отрезка ЕК равна 1, его длина равна:
ЕК = 1/cos 30° = 1/(√3/2) = 2/√3 = 2√3/3.
Расстояние от точки К до плоскости ASCравно 1*sin 45° = √2/2.
Отсюда находим искомый угол α:
sin α = (√2/2)/(2√3/3) = (3/4)*√(2/3) ≈ 0,612372.
α = arc sin 0,612372 = 0,659058 радиан = 37,7612°.
2) Поместим пирамиду в систему координат вершиной В в начало, ребром ВА по оси Ох, ребром ВС по оси Оу.
Координаты точек:
А(4; 0; 0), S(2; 2; 2√3), C(0; 4; 0).
По трём точкам находим уравнение плоскости ASC:
ASC: -13,8564x - 13,8564y + 0z + 55,42563 = 0 .
Точки К(2; 3; √3), N(2; 0; 0).
Вектор NK: (0; 3; √3).
Направляющий вектор прямой имеет вид:
l m n Ск.произв. -41,56921938
s = {l; m; n} 0 3 1,732050808
Модуль = √12 = 3,464101615.
Вектор нормали плоскости имеет вид: A B C sin fi = 0,612372436
Ax + By + Cz + D = 0
-13,8564 -13,8564 0 Модуль = 19,5959
fi = 0,659058 радиан
= 37,761244 градус.