Нужно составить математическую модель задачи.
На сортировочной станции находится 136 плацкартных вагонов, вмещающих по 48 человек, 112 купейных вагонов, вмещающих по 28 человек и 80 мягких вагонов, вмещающих по 24 человека. Из них можно составлять поезда двух типов. Поезд первого типа состоит из 10 плацкартных, 4 купейных и 2 мягких вагонов, поезд второго типа - из 2 плацкартных, 8 купейных и 6 мягких вагонов. Сколько поездов каждого типа следует составить, чтобы общее число перевезенных пассажиров было максимальным?

Одним из наиболее популярных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с использованием техники подобия треугольников, при этом оно почти непосредственно выводится из аксиом и не задействует понятие площади фигуры. В нём для треугольника {\displaystyle \triangle ABC} с прямым углом при вершине {\displaystyle C} со сторонами {\displaystyle a,b,c}, противолежащими вершинам {\displaystyle A,B,C}соответственно, проводится высота {\displaystyle CH}, при этом (согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: {\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ACH} и {\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle CBH}, из чего непосредственно следуют соотношения:

{\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {|HB|}{a}}}; {\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {|AH|}{b}}}.

При перемножении крайних членовпропорций выводятся равенства:

{\displaystyle a^{2}=c\cdot |HB|}; {\displaystyle b^{2}=c\cdot |AH|},

покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат:

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c\cdot \left(|HB|+|AH|\right)=c^{2}\,\Leftrightarrow \,a^{2}+b^{2}=c^{2}}.

Доказательство теоремы Пифагора

Пусть треугольник ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C (рис. 2).

Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание высоты обозначим как H .

Прямоугольный треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам ( ∠ACB=∠CHA=90∘, ∠A - общий). Аналогично, треугольник CBH подобен ABC .

Введя обозначения

BC=a,AC=b,AB=c

из подобия треугольников получаем, что

ac=HBa,bc=AHb

Отсюда имеем, что

a2=c⋅HB,b2=c⋅AH

Сложив полученные равенства, получаем

a2+b2=c⋅HB+c⋅AH

a2+b2=c⋅(HB+AH)

a2+b2=c⋅AB

a2+b2=c⋅c

a2+b2=c2

Что и требовалось доказать.