а) Пусть геометрическая прогрессия имеет знаменатель . Тогда получим последовательность . Число 686 может быть записано на доске.
б) Заметим, что знаменатель прогрессии q не может быть иррациональным числом: в противном случае второй член прогрессии b₂ = 128q — иррациональное число, что противоречит условию. Значит, q — рациональное число.
Предположим, что 496 является n-ным членом последовательности. Тогда . Поскольку 31 — простое число, оно не является степенью какого-либо другого числа. Значит, n = 1, . Тогда получаем геометрическую прогрессию — третий член последовательности не трёхзначный, что противоречит условию. Значит, прогрессии с членом 496 не существует.
в) Пусть A — наибольший возможный член геометрической прогрессии, по условию A < 1000. Тогда . Число является степенью некоторого рационального числа, значит, , где k — некоторое целое число из промежутка [0, 7], a — положительное нечётное число. Число представимо в таком виде, поскольку на можно сократить, в знаменателе останется , далее дробь несократима и является степенью n = 7 - k числа q: . Значит, .
Переберём все k от 0 до 7:
k = 0: . k = 1: . k = 2: . k = 3: . k = 4: . k = 5: . k = 6: k = 7: — верно, A = 128.
Наибольшее значение A = 972. Покажем, что оно достигается. Пусть . Тогда
Таким образом, наибольшее число, которое могла выписать Даша — 972.
Просклоняем словосочетание оба мальчика по падежам: именительный падеж - оба мальчика, родительный падеж - обоих мальчиков, дательный падеж - обоим мальчикам, винительный падеж - обоих мальчиков, творительный падеж - обоими мальчиками, предложный падеж - (об) обоих мальчиков. При склонении одушевленных собирательных числительных, формы родительного и винительного падежей будут совпадать (как в данном случае), а при склонении неодушевленных числительных совпадают формы именительного и винительного падежей.
а) да; б) нет; в) 972
Пошаговое объяснение:
а) Пусть геометрическая прогрессия имеет знаменатель
. Тогда получим последовательность 
. Число 686 может быть записано на доске.
б) Заметим, что знаменатель прогрессии q не может быть иррациональным числом: в противном случае второй член прогрессии b₂ = 128q — иррациональное число, что противоречит условию. Значит, q — рациональное число.
Предположим, что 496 является n-ным членом последовательности. Тогда
. Поскольку 31 — простое число, оно не является степенью какого-либо другого числа. Значит, n = 1, 
. Тогда получаем геометрическую прогрессию 
— третий член последовательности не трёхзначный, что противоречит условию. Значит, прогрессии с членом 496 не существует.
в) Пусть A — наибольший возможный член геометрической прогрессии, по условию A < 1000. Тогда
. Число 
является степенью некоторого рационального числа, значит, 
, где k — некоторое целое число из промежутка [0, 7], a — положительное нечётное число. Число представимо в таком виде, поскольку на 
можно сократить, в знаменателе останется 
, далее дробь несократима и является степенью n = 7 - k числа q: 
. Значит, 
.
Переберём все k от 0 до 7:
k = 0:Наибольшее значение A = 972. Покажем, что оно достигается. Пусть
. Тогда 
Таким образом, наибольшее число, которое могла выписать Даша — 972.
Пошаговое объяснение:
Просклоняем словосочетание оба мальчика по падежам: именительный падеж - оба мальчика, родительный падеж - обоих мальчиков, дательный падеж - обоим мальчикам, винительный падеж - обоих мальчиков, творительный падеж - обоими мальчиками, предложный падеж - (об) обоих мальчиков. При склонении одушевленных собирательных числительных, формы родительного и винительного падежей будут совпадать (как в данном случае), а при склонении неодушевленных числительных совпадают формы именительного и винительного падежей.