Математика: нужно все подробно и с чертежами

1) Произвольное комплексное число z в алгебраической форме:z = a + b*iОно же в тригонометрической форме:z = r*(cos Ф + i*sin Ф)Здесь r = √(a^2 + b^2); Ф = arctg(b/a)2) z = 1 - ia = 1; b = -1; r = √(1^2 + (-1)^2) = √2; Ф = arctg(-1/1) = -pi/4z = √2*(cos(-pi/4) + i*sin(-pi/4))3) Сначала представим z в обычном алгебраическом виде:Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное.Теперь переведем его в тригонометрическую формуЗдесь нам номер 2), в котором мы уже представляли 1 - i.По...

нужно все подробно и с чертежами

Показать ответ

Ответ:

сашамалаша2

27.07.2022 13:14

1) Произвольное комплексное число z в алгебраической форме:
z = a + b*i
Оно же в тригонометрической форме:
z = r*(cos Ф + i*sin Ф)
Здесь r = √(a^2 + b^2); Ф = arctg(b/a)

2) z = 1 - i
a = 1; b = -1; r = √(1^2 + (-1)^2) = √2; Ф = arctg(-1/1) = -pi/4
z = √2*(cos(-pi/4) + i*sin(-pi/4))

3) $z= \frac{2 \sqrt{2} }{1+i}$
Сначала представим z в обычном алгебраическом виде:
Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное.
$z= \frac{2 \sqrt{2}(1-i) }{(1+i)(1-i)} = \frac{2 \sqrt{2}(1-i)}{1-i^2} = \frac{2 \sqrt{2}(1-i)}{2} =\sqrt{2}(1-i)=\sqrt{2}-i\sqrt{2}$
Теперь переведем его в тригонометрическую форму
$z=\sqrt{2}-i\sqrt{2}=2( \frac{1}{ \sqrt{2} } -i* \frac{1}{ \sqrt{2} } )=2(cos(- \frac{ \pi }{4})+i*sin(- \frac{ \pi }{4} ) )$
Здесь нам номер 2), в котором мы уже представляли 1 - i.
По формуле Муавра для степени и корня комплексного числа:
z^n = r^n*(cos(n*Ф) + i*sin(n*Ф))
$z^3=2^3(cos(- \frac{3 \pi }{4} )+i*sin(- \frac{3 \pi }{4} ))=8(- \frac{ \sqrt{2} }{2} -i \frac{ \sqrt{2} }{2} )=-4 \sqrt{2}-4i \sqrt{2}$