Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения! Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера! Рассмотрим систему уравнений На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы. Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не нужно использовать Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя: и На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .Корни уравнения находим по формулам: , Пример 7Решить систему линейных уравнений Решение: Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи. Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.Что делать? В подобных случаях и приходят на формулы Крамера., значит, система имеет единственное решение.; ; ответ: , Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.Пример 8
Решить систему по формулам Крамера. ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку. Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Находим главный определитель системы: Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не нужно использовать.Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя: , , И, наконец, ответ рассчитывается по формулам: Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.Пример 9
Решить систему по формулам Крамера. Решение: Решим систему по формулам Крамера.
, значит, система имеет единственное решение.ответ: .Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.Бывает так, что в результате вычислений
Четырехкантный брус.Четырехкантный брус относиться к самым дешевым пиломатериалам, применяемым в стеновом строительстве. И все благодаря тому, что изготовление четырехкантного бруса не требует наличие серьезных производственных мощностей. Второй момент, определяющий доступность этого пиломатериала это применение таких сортов пиловочника, которые не пригодны для производства таких пиломатериалов как профилированный брус или оцилиндрованное бревно. Достаточно обладать начальными плотницкими навыками, чтобы самостоятельно в кустарных условиях производить четырехкантный брус неплохого качества. Изготавливается такой брус двумя тесанием и пилением древесины. Тесание. Несмотря на то, что тесание древесины как производства пиломатериалов очень трудоемок и давно устарел, он имеет ряд неоспоримых преимуществ перед пилением древесины. Все дело в том, что при распиловке дерева его поверхность напоминает рваную рану, то есть поры древесины остаются открытыми, куда быстро попадает влага. Ну и как следствие срок эксплуатации таких пиломатериалов быстро сокращается. Во время тесания древесины происходит как бы разрыв древесных волокон по их направлению от ствола к верхушке дерева (бревна). То есть структура волокон остаются практически ненарушенной и за счет использования топора при работе поры древесины остаются полностью закрытыми. Чтобы самостоятельно оттесать бревно на 4 канта (с четырех сторон) из инструментов потребуется специальный топор. Такой топор имеет узкий обух, плоское, длинное лезвие, заточенное с двух или с одной стороны (фото 1). Так же потребуется короткий отрезок бревна (подкладень) и шнурок, по которому отбивают линию одного канта. Перед тем как тесать бревно его хорошенько закрепляют на подкладне с металлических скоб или заклинивают в подкладне в заранее сделанном запиле под бревно. После с двух торцевых сторон бревна производят его разметку и по уже готовой разметке вдоль бревна натягивают шнурок, очерчивая линию отбоя мелом, углем или карандашом. После чего топором делают небольшие надрубы, двигаясь от макушки к комлю бревна. Когда надрубы сделаны аккуратно, не заступая за линию разметки, оттесывают бревно на один кант (фото 2). Точно такую же операцию проводят с оставшихся трех сторон бревна и получают тем самым четырехкантный брус. Пиление. Для распиловки бревна на четырехкантный брус можно использовать полупрофессиональную или профессиональную бензопилу. Для этих целей бревно укрепляют и размечают вышеописанным Вместо надрубов делают поперечные пропилы до линии разметки и путем продольной распиловки удаляют лишнюю древесину.
и На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .Корни уравнения находим по формулам:
, Пример 7Решить систему линейных уравнений
Решение: Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи. Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.Что делать? В подобных случаях и приходят на формулы Крамера., значит, система имеет единственное решение.;
;
ответ: , Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.Пример 8
Решить систему по формулам Крамера. ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.
Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
Находим главный определитель системы:
Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не нужно использовать.Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, , И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:
Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.Пример 9
Решить систему по формулам Крамера.
Решение: Решим систему по формулам Крамера.
, значит, система имеет единственное решение.ответ: .Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.Бывает так, что в результате вычислений
Чтобы самостоятельно оттесать бревно на 4 канта (с четырех сторон) из инструментов потребуется специальный топор. Такой топор имеет узкий обух, плоское, длинное лезвие, заточенное с двух или с одной стороны (фото 1). Так же потребуется короткий отрезок бревна (подкладень) и шнурок, по которому отбивают линию одного канта. Перед тем как тесать бревно его хорошенько закрепляют на подкладне с металлических скоб или заклинивают в подкладне в заранее сделанном запиле под бревно. После с двух торцевых сторон бревна производят его разметку и по уже готовой разметке вдоль бревна натягивают шнурок, очерчивая линию отбоя мелом, углем или карандашом.
После чего топором делают небольшие надрубы, двигаясь от макушки к комлю бревна. Когда надрубы сделаны аккуратно, не заступая за линию разметки, оттесывают бревно на один кант (фото 2). Точно такую же операцию проводят с оставшихся трех сторон бревна и получают тем самым четырехкантный брус. Пиление. Для распиловки бревна на четырехкантный брус можно использовать полупрофессиональную или профессиональную бензопилу. Для этих целей бревно укрепляют и размечают вышеописанным Вместо надрубов делают поперечные пропилы до линии разметки и путем продольной распиловки удаляют лишнюю древесину.