Направление вектора в пространстве определяется углами, , которые вектор составляет с осями координат Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора.
С выведенной ранее формулы (45) для проекции вектора легко получить выражения для направляющих косинусов. Пусть дан вектор . Тогда
Отсюда находим выражения для направляющих косинусов:
Так как по формуле , то
Возводя почленно каждое из равенств формул (60) в квадрат и складывая, найдем зависимость между направляющими косинусами вектора:
откуда
т. e. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
Замечание. Легко видеть, что проекции любого единичного вектора на оси координат соответственно совпадают с его направляющими косинусами и, следовательно, его разложение по осям координат имеет вид
Пример. Найти косинусы углов, которые вектор АВ составляет с осями координат, если .
Решение. Находим проекции вектора АВ на оси Ох, Оу, Oz:
По формуле (58) находим модуль вектора по формулам (60) находим направляющие косинусы вектора:
Отечественная война 1812 года— война между Россией и наполеоновской Францией на территории России в 1812 году. Причинами войны стали отказ России активно поддерживать континентальную блокаду, в которой Наполеон видел главное оружие против Великобритании, а также политика Наполеона в отношении европейских государств, проводившаяся без учёта интересов России. На первом этапе войны (с июня по сентябрь 1812 года) русская армия с боями отступала от границ России до Москвы, дав перед Москвой Бородинское сражение. На втором этапе войны (с октября по декабрь 1812 года) наполеоновская армия сначала маневрировала, стремясь уйти на зимние квартиры в неразорённые войной местности, а затем отступала до границ России, преследуемая русской армией, голодом и морозами. Война закончилась почти полным уничтожением наполеоновской армии, освобождением территории России и переносом военных действий на земли Варшавского герцогства и Германии в 1813 году (см. Война Шестой коалиции). Среди причин поражения армии Наполеона российский историк Н. Троицкий называет всенародное участие в войне и героизм русской армии, неготовность французской армии к боевым действиям на больших пространствах и в природно-климатических условиях России, полководческие дарования русского главнокомандующего М. И. Кутузова и других генералов.
Направление вектора в пространстве определяется углами, , которые вектор составляет с осями координат Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора.
С выведенной ранее формулы (45) для проекции вектора легко получить выражения для направляющих косинусов. Пусть дан вектор . Тогда
Отсюда находим выражения для направляющих косинусов:
Так как по формуле , то
Возводя почленно каждое из равенств формул (60) в квадрат и складывая, найдем зависимость между направляющими косинусами вектора:
откуда
т. e. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
Замечание. Легко видеть, что проекции любого единичного вектора на оси координат соответственно совпадают с его направляющими косинусами и, следовательно, его разложение по осям координат имеет вид
Пример. Найти косинусы углов, которые вектор АВ составляет с осями координат, если .
Решение. Находим проекции вектора АВ на оси Ох, Оу, Oz:
По формуле (58) находим модуль вектора по формулам (60) находим направляющие косинусы вектора: