Обчислити трикратні інтеграли:

7.3.1. Примеры для закрепления формул сокращенного умножения


1)    Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

       (a+b)2 = a2+2ab+b2 

  a) (x + 2y)2 = x2 + 2 ·x·2y + (2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

б) (2k + 3n)2 = (2k)2 + 2·2k·3n + (3n)2 = 4k2 + 12kn + 9n2

2)    Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

        (a-b)2 = a2-2ab+b2

 а)   (2a – c)2 = (2a)2-2·2a·c + c2 = 4a2 – 4ac + c2

б)   (3a – 5b)2 = (3a)2-2·3a·5b + (5b)2 = 9a2 – 30ab + 25b2

3)    Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

         a2–b2 = (a–b)(a+b)

a)      9x2 – 16y2 = (3x)2 – (4y)2 = (3x – 4y)(3x + 4y)

б)  (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)2 – (5n)2 = 36k2 – 25n2

4)  Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

        (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

a)  (m + 2n)3 = m3 + 3·m2·2n + 3·m·(2n)2 + (2n)3 = m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3

б)  (3x + 2y)3 = (3x)3 + 3·(3x)2·2y + 3·3x·(2y)2 + (2y)3 = 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3

5)  Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3

а)  (2x – y)3 = (2x)3-3·(2x)2·y + 3·2x·y2 – y3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3

б)  (x – 3n)3 = x3-3·x2·3n + 3·x·(3n)2 – (3n)3 = x3 – 9x2n + 27xn2 – 27n3

6)  Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a3+b3 = (a+b)(a2–ab+b2)

a)      125 + 8x3 = 53 + (2x)3 = (5 + 2x)(52 — 5·2x + (2x)2) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x2)

б)  (1 + 3m)(1 – 3m + 9m2) = 13 + (3m)3 = 1 + 27m3

7)  Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

 a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)

а) 64с3 – 8 = (4с)3 – 23 = (4с – 2)((4с)2 + 4с·2 + 22) = (4с – 2)(16с2 + 8с + 4)

б) (3a – 5b)(9a2 + 15ab + 25b2) = (3a)3 – (5b)3 = 27a3 – 125b3

Поскольку нам известно, что не менее 20 студентов выполнили двух контрольных работ, сперва находим тех, кто выполнил менее 2 работ. Для этого поочередно отнимаем от числа выполнивших первую и вторую, вторую и третью, первую и третью работу тех, кто выполнил 2 работы. Получим: 33 - 20 = 13 студентов. 32 - 20 = 12 студентов. 31 - 20 = 11 студентов. Находим их общее число. 13 + 12 + 11 = 36 студентов (Выполнили одну из двух работ). Находим их количество: 36 / 2 = 18 студентов выполнили по 1 контрольной работе. НО НЕ УВЕРЕН