Докажем, что, начиная с , последовательность Фибоначчи периодическая по модулю 1000.
Рассмотрим пару чисел .
Каждое из чисел каждой из пар дает один из остатков по модулю . Тогда всего вариантов пар остатков от деления на 1000 может быть (1000 вариантов остатков 1ого числа пары и 1000 вариантов у 2ого).
Тогда, по принципу Дирихле, в рассматриваемом мн-ве пар найдутся хотя бы 2 пары чисел, соответствующие элементы которых сравнимы по модулю 1000 - а, с учетом определения последовательности Фибоначчи, это и означает периодичность остатков ее членов по модулю 1000.
Возьмем 2 такие пары с наименьшими номерами. Пусть это пары . Покажем, что .
Пусть не так, и .
По построению,
Но, по определению последовательности Фибоначчи, . А значит . А тогда соответствующие элементы пар чисел сравнимы по модулю 1000 - противоречие с тем, что - пары с наименьшими номерами.
Значит .
А это означает, что в последовательности остатков от деления членов последовательности Фибоначчи на 1000 найдется сколь угодно чисел, сравнимых с по модулю 1000. Т.к последовательность возрастающая и неограниченная, начиная со 2ого члена, это утверждение эквивалентно условию задачи.
Доказано.
________________________________
Можно доказать аналогичным образом и более общее утверждение: последовательность чисел Фибоначчи по модулю периодическая (вышеприведенные рассуждения - частный случай этого док-ва). Длина периода такой последовательности обозначается и называется период Пизано.
Рок-му́зыка (англ. Rock music) — обобщающее название ряда направлений популярной музыки. Слово rock (в переводе с английского «качать», «укачивать», «качаться») в данном случае указывает на характерные для этих направлений ритмические ощущения, связанные с определённой формой движения, по аналогии с roll, twist, swing, shake… Такие признаки рок-музыки, как использование электромузыкальных инструментов, творческая самодостаточность (для рок-музыкантов характерно исполнение композиций собственного сочинения), являются вторичными и часто вводят в заблуждение. По этой причине принадлежность некоторых стилей музыки к року оспаривается.
Заметим, что
Докажем, что, начиная с
, последовательность Фибоначчи периодическая по модулю 1000.
Рассмотрим
пару чисел 
.
Каждое из чисел каждой из пар дает один из
остатков по модулю 
. Тогда всего вариантов пар остатков от деления на 1000 может быть 
(1000 вариантов остатков 1ого числа пары и 1000 вариантов у 2ого).
Тогда, по принципу Дирихле, в рассматриваемом мн-ве пар найдутся хотя бы 2 пары чисел, соответствующие элементы которых сравнимы по модулю 1000 - а, с учетом определения последовательности Фибоначчи, это и означает периодичность остатков ее членов по модулю 1000.
Возьмем 2 такие пары с наименьшими номерами. Пусть это пары
. Покажем, что 
.
Пусть не так, и
.
По построению,
Но, по определению последовательности Фибоначчи,
. А значит 
. А тогда соответствующие элементы пар чисел 
сравнимы по модулю 1000 - противоречие с тем, что 
- пары с наименьшими номерами.
Значит
.
А это означает, что в последовательности остатков от деления членов последовательности Фибоначчи на 1000 найдется сколь угодно чисел, сравнимых с
по модулю 1000. Т.к последовательность возрастающая и неограниченная, начиная со 2ого члена, это утверждение эквивалентно условию задачи.
Доказано.
________________________________
Можно доказать аналогичным образом и более общее утверждение: последовательность чисел Фибоначчи по модулю
периодическая (вышеприведенные рассуждения - частный случай этого док-ва). Длина периода такой последовательности обозначается 
и называется период Пизано.
Рок-му́зыка (англ. Rock music) — обобщающее название ряда направлений популярной музыки. Слово rock (в переводе с английского «качать», «укачивать», «качаться») в данном случае указывает на характерные для этих направлений ритмические ощущения, связанные с определённой формой движения, по аналогии с roll, twist, swing, shake… Такие признаки рок-музыки, как использование электромузыкальных инструментов, творческая самодостаточность (для рок-музыкантов характерно исполнение композиций собственного сочинения), являются вторичными и часто вводят в заблуждение. По этой причине принадлежность некоторых стилей музыки к року оспаривается.