ОЧЕНЬ НУЖНО задача. Хлібзавод одержав три партії борошна. Перша партія становила 10/27(дріб)усієї кількості борошна, друга - 15/34 решти, а третя партія на 6 т. більша від другої. Борошно було двох сортів :3/5 кількість борошна першого сорту становило 52 /36 кількості борошна другого сорту. Яка була маса кожного сорту?

Даны вершины пирамиды: А (-4; -2; -3), B (2; 5; 7), C (6; 3; -1), D(6; -4; 1).

Знайти:

1. площу грані АСD;

Находим векторы: AC = (6-(-4); 3-(-2); -1-(-3)) = (10; 5; 2).

AD =  (6-(-4); -4-(-2); 1-(-3)) = (10; -2; 4).

Площадь треугольника ACD равна половине модуля векторного произведения векторов AC и AD.

 i         j        k|         i           j

10       5        2|       10         5

10      -2       4|        10        -2  = 20i + 20j - 20k - 40j + 4i - 50k =

                                               =  24i - 20j  - 70k = (24; -20; -70).

Модуль равен √(24² + (-20)² + (-70)²) = √(576 + 400 + 4900) = √5876.

Площадь ACD = (1/2)√5876 = √1469  ≈  38,32754.

2. площу перерізу, що проходить через вершини А, D та середину ребра BC;

Находим координаты точки Е как середины ВС.

Е = (B (2; 5; 7) + C (6; 3; -1))/2 = (4; 4; 3). Вектор АЕ = (8; 6; 6).

Находим векторное произведение векторов AD и AE.

 i         j        k|        i           j

10      -2        4|      10         -2

8         6       6|        8         6  = -12i + 32j + 60k - 60j - 24i + 16k =

                                               =  -36i - 28j  + 76k = (-36; -28; 76).

Модуль равен √((-36)² + (-28)² + 76²) = √(1296 + 784 + 5776) = √7856.

Площадь ADE = (1/2)√7856   ≈  44,31704.

3. об’єм піраміди.

V = (1/6)*[ACxAD]*AB.

Вектор АВ = (6; 7; 10).

V = (1/6)*(24*6-20*7-70*10) = (1/6)696 = 116 куб.ед.

Пусть х км/ч - собственная скорость катера, тогда (х - 3) км/ч - скорость катера против течения реки, (х + 3) км/ч - скорость катера по течению реки. 7 - 2 = 5 ч - время движения. Уравнение:

36/(х-3) + 36/(х+3) = 5

36 · (х + 3) + 36 · (х - 3) = 5 · (х + 3) · (х - 3)

36х + 108 + 36х - 108 = 5 · (х² - 3²)

72х = 5х² - 45

5х² - 72х - 45 = 0

D = b² - 4ac = (-72)² - 4 · 5 · (-45) = 5184 + 900 = 6084

√D = √6084 = 78

х₁ = (72-78)/(2·5) = -6/10 (не подходит, так как < 0)

х₂ = (72+78)/(2·5) = 150/10 = 15

ответ: 15 км/ч - собственная скорость катера.

Проверка:

36 : (15 - 3) = 36 : 12 = 3 ч - время движения против течения

36 : (15 + 3) = 36 : 18 = 2 ч - время движения по течению

3 ч + 2 ч + 2 ч (остановка) = 7 ч - общее время на путь туда и обратно