Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Прямые l и m пересекаются, следовательно, лежат в одной плоскости А₁В₁В₂А₂.
Из свойства параллельных плоскостей:
Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.
Отрезки А₁В₁ и А₂В₂ параллельны, т.к. лежат в параллельных плоскостях α и β и являются линиями пересечения этих плоскостей с плоскостью А₁В₁В₂А₂..
В ∆ А₁ОВ₁ и ∆ А₁ОВ₁ углы при О равны как вертикальные, и углы при А₁В₁ и А₂В₂ равны как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущими l и m
Следовательно,
треугольники ∆ А₁ОВ₁ и ∆ А₂ОВ₂ подобны по равенству углов.
Через прямые А1А2 и В1В2 можно повести плоскость, которая пересечёт параллельные плоскости по параллельным прямым А1В1 и А2В2. У образовавшихся треугольников ОА1В1 и ОА2В2 соответствующие углы равны. Углы при вершине О равны как вертикальные, а остальные - как внутренние накрест лежащие у параллельных прямых. Следовательно треугольники ОА1В1 и ОА2В2 подобны.
У подобных треугольников соответствующие стороны соотностятся через коэффициент подобия.
По следствию 2 из аксиомы 1 стереометрии:
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.Прямые l и m пересекаются, следовательно, лежат в одной плоскости А₁В₁В₂А₂.
Из свойства параллельных плоскостей:
Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.
Отрезки А₁В₁ и А₂В₂ параллельны, т.к. лежат в параллельных плоскостях α и β и являются линиями пересечения этих плоскостей с плоскостью А₁В₁В₂А₂..
В ∆ А₁ОВ₁ и ∆ А₁ОВ₁ углы при О равны как вертикальные, и углы при А₁В₁ и А₂В₂ равны как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущими l и m
Следовательно,
треугольники ∆ А₁ОВ₁ и ∆ А₂ОВ₂ подобны по равенству углов.
Тогда отношение А₁В₁: А₂В₂=3:4.
12:А₂В₂=3/4
3 А₂В₂=48 см
А₂В₂=16 см
У образовавшихся треугольников ОА1В1 и ОА2В2 соответствующие углы равны. Углы при вершине О равны как вертикальные, а остальные - как внутренние накрест лежащие у параллельных прямых. Следовательно треугольники ОА1В1 и ОА2В2 подобны.
У подобных треугольников соответствующие стороны соотностятся через коэффициент подобия.
Откуда:
ОВ1:ОВ2 = А1В1:А2В2,
Следовательно:
А2В2 = 4 * 12 / 3 = 16
ответ: 16 см.