Олимпиадная задача: (n+1)^n-n^n+1=1 , n- натуральное число. Найти n.

ответ: ответ :  n1=1  ;  n2=2

Пошаговое объяснение:

Поделим обе части уравнения на n^n

((n+1)/n)^n -n = 1/(n^n)

(1+1/n)^n = 1/(n^n) +n

Поскольку n- натуральное число :

(1+1/n)^n < e <3  - второй замечательный предел

Но  тогда :

1/(n^n) +n < 3

Поскольку:  0<1/(n^n) <= 1  , то  для n   возможно два варианта :

n=1  или  n=2

Проверим n=2

3^2 -2^3 = 9-8=1 - верно

Проверим n=1

2^1 -1^2 = 2-1=1 - верно

ответ :  n1=1  ;  n2=2