В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Д
Другие предметы
Х
Химия
М
Музыка
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
У
Українська література
Ф
Французский язык
П
Психология
А
Алгебра
О
Обществознание
М
МХК
В
Видео-ответы
Г
География
П
Право
Г
Геометрия
А
Английский язык
И
Информатика
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
эмель1
эмель1
19.11.2021 15:44 •  Математика

Определить особую точку и её тип f(z)=(z-1)*(e^((1)/(z-

Показать ответ
Ответ:
Dawy01
Dawy01
08.10.2020 21:44
Особая точка: 1
Так как при единице функция не определена (на 0 делить нельзя)

Теперь определим ее тип:



Рассмотрим лево- и право сторонний пределы:

a) \: lim _{z - 1 + 0 } (z - 1) {e}^{ \frac{1}{z - 1} } = lim _{z - 1 + 0 } \frac{ {e}^{ \frac{1}{z - 1} } }{ \frac{1}{z - 1} } = \frac{e ^{ \frac{1}{ + 0} } }{ \frac{1}{ + 0} } = ( \frac{ \infty }{ \infty } )
Можно воспользоваться правилом Лопиталя:

lim _{z - 1 + 0 } \frac{ - {e}^{ \frac{1}{z - 1} } \times \frac{1}{(z - 1) ^{2} } }{ - \frac{1}{(z - 1)^{2} } } = lim _{z - 1 + 0}{e}^{ \frac{1}{z - 1} }= e ^{ \infty } = \infty
b) \: lim _{z - 1 - 0 }(z - 1) {e}^{ \frac{1}{z - 1} } = 0 \times e^{ \frac{1}{ - 0} } = 0 \times {e}^{ - \infty } = 0 \times 0 = 0
Лево- и правосторонний пределы не совпадают, следовательно предела в точке z=1 - не существует, значит
z=1 - существенно особая точка


Разложение в ряд Лорана:

Воспользуемся готовым разложением:

{e}^{x} = 1 + x + \frac{ {x}^{2} }{2} + \frac{ {x}^{3} }{6} + ...
И применим к данной функции:

(z - 1) {e}^{ \frac{1}{z - 1} } = (z - 1) \times (1 + \frac{1}{z - 1} + \frac{({ \frac{1}{z - 1})} ^{2} }{2} + \frac{(\frac{1}{z - 1}) ^{3} }{6} + ...) = \\ \\ = (z - 1)(1 + \frac{1}{z - 1} + \frac{1}{2(z - 1 {)}^{2} } + \frac{1}{6(z - 1) ^{3}} + ... ) = \\ \\ =( z - 1) + 1 + \frac{1}{2(z - 1)} + \frac{1}{6(z - 1) ^{2} } + ...
главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности точки z=1 содержит бесконечно много отличных от нуля членов, следовательно данная точка является существенно особой.

ОТВЕТ: z=1 - существенно особая точка
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота