Войти Регистрация Спроси ai-bota

Определить тип дифференциального уравнения и его метод решения

Показать ответ

Ответ:

Фыффыф

01.09.2020 13:45

1. Тип: дифференциальное уравнение первого порядка, с разделяющимися переменными.
$\displaystyle \frac{dy}{1+y^2}= \frac{dx}{1+x^2}~~~~~\Rightarrow~~~~ \int \frac{dy}{1+y^2}= \int\frac{dx}{1+x^2}\Rightarrow~~~ arctg y=arctgx+C$

y=tg(arctgx+C)

y=tg(arctgx+C)

- общее решение ДУ.

2. Тип: дифференциальное уравнение первого порядка, однородное.
Можно убедиться, что данное ДУ является однородным, воспользовавшись условием однородности.
$\displaystyle (\lambda y)^2+(\lambda x)^2y'=\lambda^2xyy'\\ \\ ~~~~~~~~y^2+x^2y'=xyy'$

Положим y=ux

y=ux

. Дифференцируя по правилу произведения: y'=u'x+u

y'=u'x+u

, имеем
   $u^2x^2+x^2(u'x+u)=ux^2(u'x+u)\\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~x=0\\ \\ ~~~~u^2+u'x+u=uu'x+u^2\\ \\ ~~~~~~~~~u'x(u-1)=u$
Последнее уравнение это ДУ с разделяющимися переменными
   $\displaystyle \frac{(u-1)du}{u} = \frac{dx}{x}~~~~~ \Rightarrow~~~~~ \int\bigg(1- \frac{1}{u} \bigg)du=\int \frac{dx}{x} ~~\Rightarrow~~\\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~ u-\ln|u|=\ln|x|+C$
Получили общий интеграл относительно неизвестной функции u(x)

Запишем теперь общий интеграл для нашего ДУ, осуществив замену u=y/x.
$\dfrac{y}{x} -\ln\bigg|\dfrac{y}{x}\bigg |=\ln|x|+C \\ \\ \dfrac{y}{x} -\ln|y|+\ln|x|=\ln|x|+C$

   $\dfrac{y}{x} -\ln|y|=C$ - ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Farzaney

17.08.2021 10:34

На рисунке 67 изображен график зависимости перемещения x от времени t. 1) На каких отрезках средняя скорость движения была наибольшей ? 2) В какой точке мгновенная скорость движения...

ivanovartem02

02.01.2022 14:19

С ть вираз 4b+6b+11b+3 A)10b+11b+3; Б)24b;B)21b+3; Г)10b+14...

crystall5555

30.03.2023 22:36

Решите неравенство методом интервалов ...

Ulysses228

02.05.2022 00:58

Турист вышел из пункта А в пункт В. Сначала шёл 3 ч со скоростью 4 км/ч, потом 1 ч отдыхал, после чего шёл ещё 2 ч со скоростью 6 км/ч и прибыл в пункт В. По Постройте график...

Polina68911

27.09.2020 14:10

ответьте на все во Во сколько раз число 25935 больше, чем 25,935? 2. 37:1,28 (решить) 3. 0,16 : 0,08 (решить) 4. Из пшеницы получается 81 % муки. Определи, сколько смололи пшеницы,...

Taekook19

15.09.2022 05:23

Як Округлити до сотих 3,205...

езо1

21.08.2020 16:38

Протягом тыжня щоденні продажі яблук у магазині становили: 20,6кг 19,7кг 25кг 21,8кг 23,4кг 25кг 24,2кгСкільки кг яблук продавали в середньому в 1 день.Відповідь округліть до...

111111DA

22.11.2021 09:50

завтра пишу в п р дистанционно а сегодня проверочная решите...

песок3

22.11.2021 09:50

Решите неравенство методом интервалов ...

красотка356

22.11.2021 09:50

Математика Определи наибольшее и наименьшее значения функции x(t)=2t5−6t+6, если 1≤t≤3. ответ: xнаим= xнаиб=...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку