Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin α.
Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos α.

Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg α.
Котангенс острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg α.
Синус, косинус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла.
Правила:
Катет b, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α:
b = c · sin α
Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению гипотенузы на cos α:
a = c · cos α
Катет b, противоположный углу α, равен произведению второго катета на tg α:
b = a · tg α
Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению второго катета на ctg α:
a = b · ctg α
Основные тригонометрические тождества в прямоугольном треугольнике:
(α – острый угол, противолежащий катету b и прилежащий к катету a. Сторона с – гипотенуза. β – второй острый угол).
b
sin α = —
c
sin2 α + cos2 α = 1
α + β = 90˚
a
cos α = —
c
1
1 + tg2 α = ——
cos2 α
cos α = sin β
b
tg α = —
a
1
1 + ctg2 α = ——
sin2 α
sin α = cos β
a
ctg α = —
b
1 1
1 + —— = ——
tg2 α sin2 α
tg α = ctg β
sin α
tg α = ——
cos α
При возрастании острого угла sin α и tg α возрастают, а cos α убывает.
Для любого острого угла α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Пример-пояснение:
Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.
Выясним синус угла А и косинус угла В.

Решение.
1) Сначала находим величину угла В. Тут все так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:
В = 90º – 30º = 60º.
2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:
BC 3 1
sin A = —— = — = —
AB 6 2
3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:
BC 3 1
cos B = —— = — = —
AB 6 2
В итоге получается:
sin A = cos B = 1/2.
Или:
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла – и наоборот. Именно это и означают наши две формулы:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Убедимся в этом еще раз:
1) Пусть α = 60º. Подставив значение α в формулу синуса, получим:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Пусть α = 30º. Подставив значение α в формулу косинуса, получим:
(Выбери кусочек себе) И сделай лучшим ответом. Спортивная гимнастика (греч. gymnastike, от gymnazo – упражняю, тренирую), один из древнейших видов спорта, включающий в себя соревнования на различных гимнастических снарядах, а также в вольных упражнениях и опорных прыжках. В настоящее время на международных турнирах гимнасты разыгрывают 14 комплектов наград: два в командном зачете (мужчины и женщины), два в абсолютном индивидуальном первенстве (мужчины и женщины) и десять в отдельных видах многоборья (4 – у женщин, 6 – у мужчин).
В программе Олимпийских игр с 1896.
Гимнастика является технической основой многих видов спорта, соответствующие упражнения включаются в программу подготовки представителей самых разных спортивных дисциплин. Гимнастика не только дает определенные технические навыки, но и вырабатывает силу, гибкость, выносливость, чувство равновесия, координацию движений.
Правила.
Программа соревнований по гимнастике.
Упражнения на брусьях. Различают параллельные (муж) и разновысокие (жен) брусья. Снаряд представляет собой две деревянных жерди овальной (в сечении) формы, укрепленные на металлической станине: у мужчин – на высоте 1,75 м, у женщин – 1,65 и 2,45 м. (Высота всех гимнастических снарядов отсчитывается от поверхности расположенных возле них страховочных матов).
Женские упражнения на брусьяхвключают, прежде всего, обороты в обоих направлениях вокруг верхней и нижней жерди, а также различные технические элементы, исполняемые над и под ними с вращением вокруг продольной и поперечной оси при хвата одной и двумя руками (а также без рук).
Мужские упражнения на брусьяхсочетают в себе динамичные (вращения, маховые движения и пр.) и статичные (горизонтальные упоры, стойки на руках) элементы. Гимнаст должен использовать всю длину снаряда, «работать» над и под брусьями.
Вольные упражнения (жен и муж)выполняются на специальном гимнастическом ковре 12 x 12м. Вокруг ковра проходит «граница безопасности» шириной 1 метр. Ковер (шерстяной или синтетический) имеет эластичную поверхность – достаточно плотную для толчков, но в то же время обеспечивающую спортсменам мягкое приземление. Вольные упражнения представляют собой комбинацию из отдельных элементов (кувырки, сальто, шпагаты, стойки на руках и пр.) и их связок, разных по темпу и «настроению».
По ходу выступления спортсмены должны максимально использовать всю площадь ковра. Оценивается сложность программы и отдельных ее элементов, а также чистота и уверенность исполнения. Не менее важна оригинальность представленной композиции и артистизм спортсмена – особенно у женщин, выступления которых проходят под музыкальный аккомпанемент и включают в себя отдельные танцевальные па, чем во многом напоминают упражнения из художественной гимнастики. Время выступления на ковре ограничено: 1 мин 10 сек у мужчин и полторы минуты у женщин.
Опорный прыжок (муж. и жен.).Выполняется с разбега с использованием дополнительной опоры (отсюда и название упражнения). Длина снаряда – 1,6 м, ширина – 0,35 м. Спортсмен разбегается по специальной дорожке длиной 25 м и шириной 1 м, отталкивается ногами от мостика – амортизирующего при высотой 20 см, наклонного к линии разбега, – а затем производит дополнительный толчок руками (у мужчин допускается толчок одной рукой) от снаряда. Исполняемые прыжки могут быть прямые, сальто, с переворотом и т.д. У мужчин снаряд устанавливается на высоте 1,35 м параллельно дорожке разбега, у женщин – на высоте 1,25 м перпендикулярно дорожке. Еще одно существенное различие связано с формулой соревнований: мужчинам предоставляется только одна попытка, женщинам – две, по результатам которых выводится средний за выполнение упражнения. Оценивается высота и дальность прыжка, его сложность (число оборотов вокруг продольной и поперечной оси и пр.), чистота исполнения и четкость приземления.
Упражнения на бревне (жен) – гимнастическом снаряде длиной 5 м и шириной 0,1 м, закрепленном неподвижно на высоте 1,25 м от пола. Упражнение представляет собой единую композицию из динамичных (прыжки, повороты, «пробежки», сальто, танцевальные па и пр.) и статичных (шпагат, ласточка и т.д.) элементов, исполняемых стоя, сидя и лежа на снаряде. Спортсменки должны использовать всю длину бревна. Судьи оценивают гибкость, чувство равновесия и элегантность гимнасток. Продолжительность выступления – не более 1 минуты 30 секунд.
Упражнения на коне (муж.) – специальном снаряде с ручками,
Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin α.
Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos α.

Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg α.
Котангенс острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg α.
Синус, косинус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла.
Правила:
Катет b, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α:
b = c · sin α
Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению гипотенузы на cos α:
a = c · cos α
Катет b, противоположный углу α, равен произведению второго катета на tg α:
b = a · tg α
Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению второго катета на ctg α:
a = b · ctg α
Основные тригонометрические тождества в прямоугольном треугольнике:
(α – острый угол, противолежащий катету b и прилежащий к катету a. Сторона с – гипотенуза. β – второй острый угол).
b
sin α = —
c
sin2 α + cos2 α = 1
α + β = 90˚
a
cos α = —
c
1
1 + tg2 α = ——
cos2 α
cos α = sin β
b
tg α = —
a
1
1 + ctg2 α = ——
sin2 α
sin α = cos β
a
ctg α = —
b
1 1
1 + —— = ——
tg2 α sin2 α
tg α = ctg β
sin α
tg α = ——
cos α
При возрастании острого угла sin α и tg α возрастают, а cos α убывает.
Для любого острого угла α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Пример-пояснение:
Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.
Выясним синус угла А и косинус угла В.

Решение.
1) Сначала находим величину угла В. Тут все так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:
В = 90º – 30º = 60º.
2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:
BC 3 1
sin A = —— = — = —
AB 6 2
3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:
BC 3 1
cos B = —— = — = —
AB 6 2
В итоге получается:
sin A = cos B = 1/2.
Или:
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла – и наоборот. Именно это и означают наши две формулы:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Убедимся в этом еще раз:
1) Пусть α = 60º. Подставив значение α в формулу синуса, получим:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Пусть α = 30º. Подставив значение α в формулу косинуса, получим:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(Подробнее о тригонометрии - см.раздел Алгебра)
Главная
Физика
Химия
Алгебра
Геометрия
История России
Русский язык
Литература
Таблицы
Тесты (проверь себя)
Полезные
В программе Олимпийских игр с 1896.
Гимнастика является технической основой многих видов спорта, соответствующие упражнения включаются в программу подготовки представителей самых разных спортивных дисциплин. Гимнастика не только дает определенные технические навыки, но и вырабатывает силу, гибкость, выносливость, чувство равновесия, координацию движений.
Правила.
Программа соревнований по гимнастике.
Упражнения на брусьях. Различают параллельные (муж) и разновысокие (жен) брусья. Снаряд представляет собой две деревянных жерди овальной (в сечении) формы, укрепленные на металлической станине: у мужчин – на высоте 1,75 м, у женщин – 1,65 и 2,45 м. (Высота всех гимнастических снарядов отсчитывается от поверхности расположенных возле них страховочных матов).
Женские упражнения на брусьяхвключают, прежде всего, обороты в обоих направлениях вокруг верхней и нижней жерди, а также различные технические элементы, исполняемые над и под ними с вращением вокруг продольной и поперечной оси при хвата одной и двумя руками (а также без рук).
Мужские упражнения на брусьяхсочетают в себе динамичные (вращения, маховые движения и пр.) и статичные (горизонтальные упоры, стойки на руках) элементы. Гимнаст должен использовать всю длину снаряда, «работать» над и под брусьями.
Вольные упражнения (жен и муж)выполняются на специальном гимнастическом ковре 12 x 12м. Вокруг ковра проходит «граница безопасности» шириной 1 метр. Ковер (шерстяной или синтетический) имеет эластичную поверхность – достаточно плотную для толчков, но в то же время обеспечивающую спортсменам мягкое приземление. Вольные упражнения представляют собой комбинацию из отдельных элементов (кувырки, сальто, шпагаты, стойки на руках и пр.) и их связок, разных по темпу и «настроению».
По ходу выступления спортсмены должны максимально использовать всю площадь ковра. Оценивается сложность программы и отдельных ее элементов, а также чистота и уверенность исполнения. Не менее важна оригинальность представленной композиции и артистизм спортсмена – особенно у женщин, выступления которых проходят под музыкальный аккомпанемент и включают в себя отдельные танцевальные па, чем во многом напоминают упражнения из художественной гимнастики. Время выступления на ковре ограничено: 1 мин 10 сек у мужчин и полторы минуты у женщин.
Опорный прыжок (муж. и жен.).Выполняется с разбега с использованием дополнительной опоры (отсюда и название упражнения). Длина снаряда – 1,6 м, ширина – 0,35 м. Спортсмен разбегается по специальной дорожке длиной 25 м и шириной 1 м, отталкивается ногами от мостика – амортизирующего при высотой 20 см, наклонного к линии разбега, – а затем производит дополнительный толчок руками (у мужчин допускается толчок одной рукой) от снаряда. Исполняемые прыжки могут быть прямые, сальто, с переворотом и т.д. У мужчин снаряд устанавливается на высоте 1,35 м параллельно дорожке разбега, у женщин – на высоте 1,25 м перпендикулярно дорожке. Еще одно существенное различие связано с формулой соревнований: мужчинам предоставляется только одна попытка, женщинам – две, по результатам которых выводится средний за выполнение упражнения. Оценивается высота и дальность прыжка, его сложность (число оборотов вокруг продольной и поперечной оси и пр.), чистота исполнения и четкость приземления.
Упражнения на бревне (жен) – гимнастическом снаряде длиной 5 м и шириной 0,1 м, закрепленном неподвижно на высоте 1,25 м от пола. Упражнение представляет собой единую композицию из динамичных (прыжки, повороты, «пробежки», сальто, танцевальные па и пр.) и статичных (шпагат, ласточка и т.д.) элементов, исполняемых стоя, сидя и лежа на снаряде. Спортсменки должны использовать всю длину бревна. Судьи оценивают гибкость, чувство равновесия и элегантность гимнасток. Продолжительность выступления – не более 1 минуты 30 секунд.
Упражнения на коне (муж.) – специальном снаряде с ручками,