Определите, какими из свойств обладают следующие отношения на множестве {1,2,3,4,5}: R1: aR1b |a-b|=1;
R2: aR2b 0 a+b - четное число;
R4: aR4b a>=b^2;
R5: aR5b НОД (a,b)=1.
Представьте графически отношения:
R1 ⋂ R2, R1 ∪ R2, R2^-1,R2 ∘ R4, R4 ∘ R2, R5-R4^-1
С решением
Отношение R1: aR1b |a-b|=1
Для определения свойств данного отношения, мы должны проверить все пары элементов из множества {1,2,3,4,5} и выяснить, удовлетворяют ли они условию |a-b|=1.
1R1 2, так как |1-2|=1;
2R1 1, так как |2-1|=1;
2R1 3, так как |2-3|=1;
3R1 2, так как |3-2|=1;
3R1 4, так как |3-4|=1;
4R1 3, так как |4-3|=1;
4R1 5, так как |4-5|=1;
5R1 4, так как |5-4|=1.
Мы видим, что все пары элементов удовлетворяют условию |a-b|=1. Поэтому можем сказать, что данное отношение обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Отношение R2: aR2b 0 < a+b - четное число
Теперь давайте проверим все пары элементов из множества {1,2,3,4,5} и выясним, удовлетворяют ли они условию 0 < a+b - четное число.
1R2 2, так как 0 < 1+2=3 - является четным числом;
2R2 1, так как 0 < 2+1=3 - является четным числом;
2R2 3, так как 0 < 2+3=5 - НЕ является четным числом;
3R2 2, так как 0 < 3+2=5 - НЕ является четным числом;
3R2 4, так как 0 < 3+4=7 - НЕ является четным числом;
4R2 3, так как 0 < 4+3=7 - НЕ является четным числом;
4R2 5, так как 0 < 4+5=9 - НЕ является четным числом;
5R2 4, так как 0 < 5+4=9 - НЕ является четным числом.
Мы видим, что условие 0 < a+b - четное число не выполняется для некоторых пар элементов. Поэтому можем сказать, что данное отношение не обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Отношение R4: aR4b a>=b^2
Давайте проверим все пары элементов из множества {1,2,3,4,5} и выясним, удовлетворяют ли они условию a>=b^2.
1R4 1, так как 1 >= 1^2;
1R4 2, так как 1 >= 2^2 - условие не выполняется;
2R4 1, так как 2 >= 1^2;
2R4 3, так как 2 >= 3^2 - условие не выполняется;
3R4 2, так как 3 >= 2^2;
3R4 4, так как 3 >= 4^2 - условие не выполняется;
4R4 3, так как 4 >= 3^2;
4R4 5, так как 4 >= 5^2 - условие не выполняется;
5R4 4, так как 5 >= 4^2.
Мы видим, что условие a>=b^2 не выполняется для некоторых пар элементов. Поэтому можем сказать, что данное отношение не обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Отношение R5: aR5b НОД (a,b)=1
Проверим все пары элементов из множества {1,2,3,4,5} и выясним, удовлетворяют ли они условию НОД (a,b)=1.
1R5 2, так как НОД (1,2)=1;
1R5 3, так как НОД (1,3)=1;
1R5 4, так как НОД (1,4)=1;
1R5 5, так как НОД (1,5)=1;
2R5 1, так как НОД (2,1)=1;
2R5 3, так как НОД (2,3)=1;
2R5 4, так как НОД (2,4)=2 - условие не выполняется;
2R5 5, так как НОД (2,5)=1;
3R5 1, так как НОД (3,1)=1;
3R5 2, так как НОД (3,2)=1;
3R5 4, так как НОД (3,4)=1;
3R5 5, так как НОД (3,5)=1;
4R5 1, так как НОД (4,1)=1;
4R5 2, так как НОД (4,2)=2 - условие не выполняется;
4R5 3, так как НОД (4,3)=1;
4R5 5, так как НОД (4,5)=1;
5R5 1, так как НОД (5,1)=1;
5R5 2, так как НОД (5,2)=1;
5R5 3, так как НОД (5,3)=1;
5R5 4, так как НОД (5,4)=1.
Мы видим, что условие НОД (a,b)=1 выполняется для всех пар элементов. Поэтому можем сказать, что данное отношение обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Теперь давайте представим графически данные отношения.
R1:
1-2, 2-1, 2-3, 3-2, 3-4, 4-3, 4-5, 5-4
R2:
1-2, 2-1
R1 ⋂ R2:
1-2, 2-1
R1 ∪ R2:
1-2, 2-1, 2-3, 3-2, 3-4, 4-3, 4-5, 5-4
R2^-1:
2-1, 1-2
R2 ∘ R4:
1-1, 2-1, 2-2
R4 ∘ R2:
1-2, 2-1, 2-2
R5-R4^-1:
1-2, 2-1, 2-3, 3-2, 3-4, 4-3, 4-5, 5-4
Надеюсь, я максимально подробно разъяснил данные отношения и ответил на ваш вопрос. Если есть еще какие-либо вопросы, обращайтесь.